Umkehrfunktion

28.05.2009, 09:15

serious-cool

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Umkehrfunktion

Guten Morgen,

ich steh grad etwas auf dem Schlauch bei einer Umkehrfunktion.
f(x)=(x^2+1)sin(x)
die Umkehrfunktion müsste dann doch sein:
f(y)=sqrt(y)*arcsin(y)+arcsin(y)
Oder lieg ich damit falsch?

(In der Aufgabenstellung wrid das Newton Verfahren an y=1 verlangt via matlab, ich bekomme aber immer einen NaN Division durch 0 Fehler und will deshalb erstmal sichergehen dass die Funktion korrekt ist.)

Gruß

28.05.2009, 09:35

Nubler

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was ist dein urbild?

28.05.2009, 09:42

serious-cool

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zu untersuchen ist (x^2+1)*sin(x)=1
also f^-1(1) die Ausgangsfunktion ist wie oben beschrieben f(x)=(x^2+1)sin(x) mehr ist nicht gegeben, normalerweise arbeiten wir im R-->R wobei mir da das x^2 sorgen macht.

28.05.2009, 09:55

Nubler

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urbild is $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?
kann dann überhaupt ne umkehrfunktion existieren?

28.05.2009, 10:03

serious-cool

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verwirrt

ich gehe davon aus.
für sin(x) gibt es keine Beschränkung, für x^2 sollte es für alle positiven y>0 funtionieren.
da ich ich an der stelle y=1 untersuche dürften alle Vorraussetzungen erfüllt sein.

laut Taschenrechner sollte sich bei y=1 x~3.76669 ergeben.

28.05.2009, 10:18

Nubler

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was ist eine funktion?

was muss also eine funktion erfüllen, damit die umkehrabbildung auch eine funktion ist?

das hier gegeben?

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28.05.2009, 10:31

serious-cool

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Kriterium für Umkehrbarkeit: strenge Monotonie: die ist gegeben(Laut GTR SHARP EL-9650).
Die Foruminterne Plot Funktion sagt was anderes:

Jetzt versteh ich gar nix mehr traurig

traurig

28.05.2009, 10:37

Nubler

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du brauchst keine monotonie zur umkehrfunktion...

du brauchst bijektivität
ist dein f bijektiv?

28.05.2009, 10:46

serious-cool

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f(x) ist nicht bijektiv da zu jedem y mehrere x erxistieren
(angnommen der forum-interne Plott ist richtig)

Für reellewertige Funktionen die strenge Monotonie ausreichend. (Ist ja fast das gleiche wie bijektivität vereinfacht betrachtet zumindest)

28.05.2009, 10:59

Nubler

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monotonie ist weder hinreichend noch notwendig.

betrachte folgende streng monotone funktion:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \to e^x \end{eqnarray*}$

funktion ist streng monoton, aber nicht umkehrbar

edit: des mit der verletzten bijektivität (verletzte injektivität) hast du richtig erkannt. was bedeutet das konkret in bezug auf umkehrfunktion?

28.05.2009, 11:06

serious-cool

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Die Umkehrfunktion von e^x ist ln(x) oder verstehe ich dich da grad falsch.
Edit: auserdem ist e^x in R->R injektiv.

28.05.2009, 11:11

Nubler

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ln(-1)=?

28.05.2009, 11:16

Huggy

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@Nubler
Was stiftest du denn da für eine Verwirrung?
Der Bildbereich von e^x sind die positiven reellen Zahlen. Deshalb muß die Umkehrfunktion auch nur auf diesem Bildbereich definiert sein.

28.05.2009, 11:20

serious-cool

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gibt es nicht. da e^x einen positven Werte bereich hat. git es kein e^u=-1 gibt es auch kein ln(-1)

28.05.2009, 11:32

serious-cool

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Um zu ursprünglichen Thema zurückzukommen,
wäre ich euch dankbar wenn mir jemand sagen könnte ob meine Umkehrfunktion richtig ist verwirrt

verwirrt

Ich hab nicht mehr viel Zeit den Bug zu finden und möchte zuerst Rechenfehler ausschließen bevor ich meine Matlab Funktion umschreibe.

28.05.2009, 11:43

Huggy

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Zunächst müsstest du den Definitionsbereich von f(x) geeignet einschränken, damit es eine Umkehrfunktion gibt. Aber auch das vorausgesetzt, ist deine Umkehrfunktion nicht richtig. Es dürfte auch kaum möglich sein, einen analytischen Ausdruck für die Umkehrfunktion zu finden. Die kann man wohl nur numerisch berechnen.

28.05.2009, 11:50

outSchool

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Zitat:

Original von serious-cool
zu untersuchen ist (x^2+1)*sin(x)=1
also f^-1(1) die Ausgangsfunktion ist wie oben beschrieben f(x)=(x^2+1)sin(x) mehr ist nicht gegeben, normalerweise arbeiten wir im R-->R wobei mir da das x^2 sorgen macht.

Also

$\begin{eqnarray*} g(x) = (x^2+1)\cdot sin(x)-1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von serious-cool
In der Aufgabenstellung wrid das Newton Verfahren an y=1 verlangt
.

Dann versuche es mal mit dem Newton Verfahren.

$\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$

28.05.2009, 15:40

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Huggy
@Nubler
Was stiftest du denn da für eine Verwirrung?
Der Bildbereich von e^x sind die positiven reellen Zahlen. Deshalb muß die Umkehrfunktion auch nur auf diesem Bildbereich definiert sein.

Was Nubler sagt, ist korrekt. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=\operatorname e^x \end{eqnarray*}$ ist nicht bijektiv, da sie nicht surjektiv ist. Also ist sie auch nich umkehrbar. Die Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to (0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=\operatorname e^x \end{eqnarray*}$ allerdings ist bijektiv und damit umkehrbar.

Zu einer Funktion gehören nunmal Definitionsbereich, Wertebereich und eine Funktionsvorschrift. Ändert sich auch nur eine dieser drei Dinge, so ist es nicht mehr die gleiche Funktion!

28.05.2009, 16:08

Huggy

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler

Zitat:

Original von Huggy
@Nubler
Was stiftest du denn da für eine Verwirrung?
Der Bildbereich von e^x sind die positiven reellen Zahlen. Deshalb muß die Umkehrfunktion auch nur auf diesem Bildbereich definiert sein.

Was Nubler sagt, ist korrekt. Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x):=\operatorname e^x \end{eqnarray*}$ ist nicht bijektiv, da sie nicht surjektiv ist. Also ist sie auch nich umkehrbar. Die Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to (0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(x)=\operatorname e^x \end{eqnarray*}$ allerdings ist bijektiv und damit umkehrbar.

Zu einer Funktion gehören nunmal Definitionsbereich, Wertebereich und eine Funktionsvorschrift. Ändert sich auch nur eine dieser drei Dinge, so ist es nicht mehr die gleiche Funktion!

Man kann auch mit korrekten Aussagen Verwirrung stiften, z. B. wenn sie, wie hier, an dem eigentlichen Problem vorbeigehen.

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