Ungleichung mit erwartungswerten

28.05.2009, 22:07

hxh

Ungleichung mit erwartungswerten

Hi ,
hab hier ne Ungleichung und ich kann nicht zeigen dass sie stimmt.

$\begin{eqnarray*} x \in L_2(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in \L_2(T) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T \subset A \end{eqnarray*}$ sigma Algebren

$\begin{eqnarray*} E((x-E(x))^2) \geq E((E(x)-E(x|y))^2) \end{eqnarray*}$

Also Jensensche Ungleichung soll man anwenden, aber ich verstehe nicht wie ich das machen soll. Konvexität ist ja durch das quadrat gegeben.
Vielleicht kann mir wer einen Tipp geben.

28.05.2009, 22:30

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Zitat:

Original von hxh
Also Jensensche Ungleichung soll man anwenden

Tatsächlich? verwirrt

Ich skizziere mal einen anderen Weg: Benutze die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} X-E(X) = (X-E(X \bigm| Y)) + (E(X \bigm| Y)-E(X)) \end{eqnarray*}$ ,

quadriere diese, bilde den Erwartungswert davon. In einer Nebenrechnung zeige dann für den gemischten Term die Orthogonalitätseigenschaft

$\begin{eqnarray*} E((X-E(X \bigm| Y))(E(X \bigm| Y)-E(X))) = 0 \end{eqnarray*}$ ,

das geht etwa unter Benutzung von $\begin{eqnarray*} E(Z) = E(E(Z \bigm| Y)) \end{eqnarray*}$ für beliebige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ .

28.05.2009, 22:51

hxh

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Es ist immer wieder erstaunlich wie du auf so was kommst in so kurzer Zeit.
Ja als Hinweis stand Jensensche Ungleichung dabei, aber ich verstehe auch nicht wie das funktionieren soll.
Dein Weg hat geklappt danke schön smile

28.05.2009, 23:03

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Zitat:

Original von hxh
Es ist immer wieder erstaunlich wie du auf so was kommst in so kurzer Zeit.

Wenn man den inhaltlichen Hintergrund kennt, ist es nicht so schwer:

$\begin{eqnarray*} E(X \bigm| Y) \end{eqnarray*}$ ist bildlich gesprochen eine orthogonale Projektion der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auf den Teilraum $\begin{eqnarray*} \sigma(Y) \end{eqnarray*}$ .

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