Logarithmusfunktion

28.05.2009, 22:37

Henri

Logarithmusfunktion

Hallo Forum,

ich bin mir zwar ziemlich sicher, dass es diese Frage schon einmal gab, aber ich kann sie nicht finden. Sie ist glaube ich recht einfach zu beantworten, aber ich komm einfach nicht darauf.

Kann mir jemand sagen, warum diese Gleichung hier gilt?

$\begin{eqnarray*} \log_a(x) = \frac{ln x}{ln a} \end{eqnarray*}$

Das ganze wird in meinem Buch durch:

$\begin{eqnarray*} log_a(a^x)=x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} a^{log_a x} = x \end{eqnarray*}$
hergeleitet, was ich beides zu verstehe glaube. Aber warum dann

$\begin{eqnarray*} \log_a(x) = \frac{ln x}{ln a} \end{eqnarray*}$

gilt, kann ich mir nicht erklären.

Liebe Grüße

Edit (mY+): LaTex korrgiert.

28.05.2009, 22:41

Henri

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Mist! Es soll heißen:

Das ganze wird in meinem Buch durch

$\begin{eqnarray*} log_a(a^x) = x \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} a^{log_a x} = x \end{eqnarray*}$

hergeleitet. Aber ich komme nicht auf den Zusammenhang.

29.05.2009, 02:22

mYthos

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Am besten ist, du logarithmierst einfach die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a^{\log_a x} = x \end{eqnarray*}$

zur Basis e:

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_a x \cdot \ln a = \ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \end{eqnarray*}$

und gut ist es.

mY+

29.05.2009, 12:39

Henri

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Hallo,

vielen Dank für die Herleitung. Das habe ich jetzt verstanden. Jetzt müsste man mir nur noch erklären, warum man das dann ohne die Basis e schreiben darf. Man kann ja nich einfach durch e teilen oder so Big Laugh

.

Grüße

29.05.2009, 15:11

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \log_e x = \ln x \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ steht ja stillschweigend $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ dabei, wenn auch verborgen ...

mY+

29.05.2009, 17:31

Henri

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Aber in dem Fall ist a doch die Basis,

also statt $\begin{eqnarray*} \log_e x = \ln x \end{eqnarray*}$

ist es ja $\begin{eqnarray*} \log_a x \neq \ln x \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a \neq e \end{eqnarray*}$

Oder nicht?

29.05.2009, 18:19

mYthos

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Ich verstehe nicht, wo das Problem ist.
Es ist ein Logarithmus zur Basis a in einen Logarithmus zur Basis e (-> ln) umzuwandeln.

Dazu schreibt man diesen Logarithmus als eine Exponentialgleichung (noch zur Basis a) und logarithmiert diese - jedoch in Bezug zur Basis e. Fertig.

Die beiden Logarithmen werden auch nicht gleichgesetzt - rechts steht noch im Nenner ln(a).

Wenn es immer noch nicht klar ist, solltest du bitte deine Frage verständlicher formulieren.

mY+

30.05.2009, 23:18

Henri

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Zitat:

Original von mYthos

zur Basis e:

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_a x \cdot \ln a = \ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \end{eqnarray*}$

Hmm ... ich probier's nochmal. Das Problem ist wohl, dass ich mein Problem gar nicht richtig in Worte fassen kann. Aber einen Versuch mach ich noch.

Du schreibst oben ja, dass alle "zur Basis e" ist. Das heißt so viel wie, man soll sich ein exp(...) dazudenken, oder?

Das heißt ganz ausgeschrieben wäre es dann:

$\begin{eqnarray*} e^{\log_a x \cdot \ln a} = e^{\ln x} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, wie ich das... mit ln! Natürlich.
Tut mir Leid!!! LOL Hammer

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