Periodenlänge

28.05.2009, 23:45	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
Periodenlänge Hallo, weiß jemand, wie man zeigt, dass der Bruch $\begin{eqnarray} 1/(10^n+1) \end{eqnarray}$ die Periodenlänge 2n hat? Ich habe es mit einer Induktion probiert, aber es klappt nicht so ganz.... Edit: Klammern gesetzt. Gruß, Reksilat.
29.05.2009, 09:57	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodenlänge Hi Steffi, Setze doch in Zukunft bitte Klammern. (-> Grund) Zu Deiner Aufgabe: Induktion ist hier eigentlich gar nicht nötig, Du musst doch nur die Ordnung von $\begin{eqnarray} 10 \end{eqnarray}$ modulo $\begin{eqnarray} m:=10^n+1 \end{eqnarray}$ ausrechnen, das geht auch direkt. Zeige $\begin{eqnarray} 10^{2n}\equiv 1\mod m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 10^k\not\equiv 1\mod m \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k<2n \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
29.05.2009, 10:19	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gebe mal einige Denkanstöße, ohne die sache zu beweisen: Ganz allgemein gilt, dass einer Bruch der Form x/999 mit x<999 periodisch ist und die Periode 00x hat. Die Länge der Periode entspricht dabei der Anzahl der Neunen im Nenner. Die Anzahl der Nullen in der Periode entspricht der Differenz aus der Anzahl der Neunen im Nenner und der Anzahl der Ziffern im Zähler 3 Beispiele: 7/999=0,007007... (Periodenlänge=3, Anzahl der Nullen=2) 76/9999=0,00760076... (Periodenlänge=4, Anzahl der Nullen=2) 765/999=0,765765765... (Periodenlänge=3, Anzahl der Nullen=0) usw. Deine Aufgabe kannst du auf diesen Fall zurückführen, indem du deinen Bruch 1/(10^n+1) mit einer Zahl 999...9 erweiterst, die aus n Neunen besteht. Damit erhält dein Bruch 1/(10^n+1) die Gestalt 99...9/9999...99 Dabei stehen im Zähler n Neunen und im Nenner 2n Neunen Beispiel: n=1: 1/11=9/99 n=2: 1/101=99/9999 n=3: 1/1001=999/999999 n=4: 1/10001=9999/99999999 usw. Du musst also beweisen, dass ein Bruch, dessen Zähler aus n Neunen und dessen Nenner aus 2n Neunen besteht, die Periodenlänge 2n besitzt. Für das obige Beispiel mit n=3 würde das bedeuten 1/1001=999/999999=0,000999000999000999 Hier ist wegen n=3 die Periode 6-stellig und lautet 000999. Der Beweis ist durch Induktion möglich, aber vielleicht auch einfacher auf andere Weise.
29.05.2009, 13:28	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Jeder Bruch mit Periodenlänge n lässt sich schreiben als(r $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ <10^n): $\begin{eqnarray} r(\frac{1}{10^n}+\frac{1}{10^{2n}}+\frac{1}{10^{3n}}+...) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r\sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{10^{kn}}\Rightarrow \end{eqnarray}$ geometrische Reihe $\begin{eqnarray} =r\frac{1}{10^{n}}\lim_{k \to \infty}\frac{(\frac{1}{10^{n}})^{k}-1}{\frac{1}{10^{n}}-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =r\frac{1}{10^{n}-1} \end{eqnarray}$ Erweitere deinen Bruch geschickt (Stichwort binomische Formel) und bring ihn auf diese Gestalt.
30.05.2009, 11:51	Steffi85	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodenlänge Hi, vielen Dank für alle Antworten Ich fange mit Reksilat an. (Ich werde mir das mit den Klammern merken!! Kann verwirrend wirken) $\begin{eqnarray} \left[10\right]_{10^n+1}^{2n} = \left[10\right]_{10^n+1}^{n+n} = \left[10\right]_{10^n+1}^{n} \left[10\right]_{10^n+1}^{n} = \left[(-1)\right]_{10^n+1} * \left[(-1)\right]_{10^n+1} = \left[1\right]_{10^n+1} \end{eqnarray}$ So und damit weiß man, dass $\begin{eqnarray} \left[10\right]_{10^n+1}^{2n} = \left[1\right]_{10^n+1} \end{eqnarray*}$ Aber das mit dem k<2n habe ich noch nicht hinbekommen. Danke, Ehos und Frank, eure Erklärungen haben mir geholfen, ich versuch gleich die Beweise zu machen

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