Einstieg Vektorräume

29.05.2009, 02:28

RVD

Einstieg Vektorräume

schönen abend oder oder nacht, ich weiß es ist spät, aber ich habe mich vor einige zeit an meine übung gemacht, gelernt usw und bin mittlerweile völlig verwirrt. daher habe ich mich mal hier angemeldet Augenzwinkern

wie im thema gesagt geht es um das thema vektorräume, matrizen (also auch determinate usw) haben wir davor gemacht, das war mir auch alles recht einleuchtend, die übung konnte ich, aber hier bei komme ich total durcheinander. ich habe die übung mal angehängt und wäre sehr verbunden, wenn mir da jemand helfen könnte:

im großen und ganzen gehts bei mir darum, dass ich garnicht richtig weiß wie ich die aufgaben anzufangen habe, also ich beginne und merke dann: so kanns doch nicht sein.

zb aufgabe 17:

da scheitert es bei mir schon am grundverständnis wie ich das anfangen muss. man sieht ja zb leicht, dass v1+v2=v3 ist, also linear abhängig aber wie löst man das als matrix?!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so ist es denk ich mal ja richtig, aber so komme ich doch nicht auf die benötigte nullzeile, die ich doch brauche oder woran erkenne ich zb, ob diese vektoren, den R³ aufspannen? tun sie das, wenn ich mit obiger matrix die lineare unabhängigkeit der 3 zeilen zeige?! muss die matrix den rang 3 haben?!

also ich denke an dem handwerkszeug liegt es nicht, ich bin normal auch gut in mathematischen sachen, aber irgendwie hab ich für das thema noch komplett keinen sinn gefunden. also mir muss keiner die aufgaben lösen, ich hoffe ihr versteht mein problem. es wäre nett wenn mir jemand einfach da "hinein" hilft, weil ich garnicht so recht weiß was das einzelne denn nun heißt und wie ich es lösen muss.

übrigens nicht vorm abgabedatum erschrecken, das ist falsch Augenzwinkern

Tigerbine: Anhang entfernt [Archiv defekt]. Bitte Aufgabe abgetippt einstellen. Danke.

Edit2: Nicht defekt, sondern nur mit falscher Erweiterung. Hier Aufgabe 17. Gruß, Reksilat
[attach]10667[/attach]

29.05.2009, 08:26

klarsoweit

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RE: Einstieg Vektorräume
Dateianhänge im zip-Format sind gar nicht beliebt. Ich konnte die Datei jedenfalls nicht öffnen. Wenn du dir die Mühe machst und die Aufgabe hier reinklapperst, bekommst du am ehesten eine fundierte Antwort. smile

29.05.2009, 08:30

Felix

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Ich kann deine zip-Datei nicht öffnen ...

Aber mal zu deiner Matrix: Was meinst du mit "die Matrix lösen" ? Was sind $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

so ist es denk ich mal ja richtig, aber so komme ich doch nicht auf die benötigte nullzeile, die ich doch brauche oder woran erkenne ich zb, ob diese vektoren, den R³ aufspannen? muss die matrix den rang 3 haben?!

Genau dann, wenn n Vektoren aus $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, sind sie eine Basis dieses Vekorraums. Wenn du also die Zeilen/Spalten der Matrix betrachtest, um zu sehen ob sie $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ aufspannen, so muss die Matrix den Rang 3 haben.

Edit:

Dann kann wohl nicht nur ich die Datei nicht öffnen ...

29.05.2009, 10:01

Reksilat

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ZIP-Datei in RAR umbenennen.

Gruß,
Reksilat.

29.05.2009, 14:48

RVD

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sorry für die fehler, war ja mein erste post hier, ich gelobe besserung. dürfen rar dateien den hoch geladen werden? daher hatte ich es in zip umbenannt und konnte es bei mir danach auch noch öffnen. 6 aufgaben mit formeln abtippen ist recht aufwändig, aber dann muss ich das wohl machen Augenzwinkern

pdf dateien dürfen nicht ghoch geladen werden oder?

aber dann schonmal zu der aufgabe 17:

das ist ja mein problem, wenn ich die vektoren so betrachte, sieht man ja, dass v3=v2+v1, also linear abhängig, wenn ich jetzt aber die matrix betrachte, die ich da habe würde ich sagen, die vektoren innerhalb der matrix sind linear unabhängig, also der rang der matrix ist 3 und damit spannen die vektoren doch den R³ auf. hat das eine garnichts mit dem anderen zu tun?!

edit: ok hab gelesen man darf nur eine aufgabe gleichzeitig behandeln, dann eben erst die 17 und dann kommen wir zu dem andern ^^

29.05.2009, 14:52

tigerbine

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Zitat:

Original von RVD 6 aufgaben mit formeln abtippen ist recht aufwändig, aber dann muss ich das wohl machen Augenzwinkern

pdf dateien dürfen nicht ghoch geladen werden oder?

Kein PDF, und nur 1 Aufgabe pro Thread. Augenzwinkern

1. Schreib die Vektoren in eine Matrix und bestimme deren Rang.
2. Mit 1 ist auch 2 erledigt.
3. Wähle 3 l.u. aus den vier aus. Nachweis der Basiseigenschaft wie bei 1.

29.05.2009, 14:57

Felix

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Nunja du betrachtest doch vier Vektoren. Nur weil die ersten 3 linear abhängig sind, bedeutet das nicht, dass man nicht 3 dieser 4 Vektoren so auswählen kann, dass sie linear unabhängig sind.
Man kann jetzt natürlich alle 4 Möglichkeiten einzeln überprüfen. Klüger ist es jedoch, so wie du es ohnehin getan hast, eine Matrix zu konstruieren und den Rang zu überprüfen. Dazu reicht es nämlich die Zeilen auf lineare Abhängigkeit zu testen, da Spaltenrang=Zeilenrang gilt.

Edit:

Wieder mal zu spät dran Augenzwinkern

29.05.2009, 15:08

RVD

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ach zu spät gibt es nicht, jede erklärung hilft mir weiter Augenzwinkern

wäre es bei kleinen NxN matrizen dann nicht auch am einfachsten einfach die determinante auszurechnen?! wenn die ungleich 0 ist, ist das gleichungssystem eindeutig lösbar und somit die zeilen linear unabhängig.

dein post hat mir in sofern geholfen, dass ich mich die ganze zeit gefragt habe, wieso ich beim normalen betrachten der vektoren darauf komme, dass 2 addiert den dritten ergeben, als eine nullzeile entstehen müsste, aber wenn ich die matrix aufstelle "dreht" sich der vektor ja, also wird ja eben senkrecht rein geschrieben und dann entsteht keine nullzeile mehr.

also ist die lösung zu a) dass der rang 3 ist und zu b) dass die dektoren aber nicht linear unabhängig sind?! oder ist es wie du sagst völlig egal, ob 3 von 4 linear abhängig sind?

edit: bzw reicht es zu zeigen, dass lediglich 2 oder 3 der vektoren linear abhängig sind um zu agen, dass sie insgesamt gesehen linear abhängig sind?

29.05.2009, 15:14

tigerbine

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Det ist schlecht, denn wenn 0 rauskommt, weiß du nicht, "wie groß" die lineare Abhängigkeit ist. Da würde ich Rangbestimmung vorziehen.

29.05.2009, 15:27

Felix

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Zitat:

In manchen Fällen mag das hilfreich sein, allerdings beschränkt sich dieses Verfahren eben auf den Spezialfall einer nxn - Matrix.

Zitat:

bzw reicht es zu zeigen, dass lediglich 2 oder 3 der vektoren linear abhängig sind um zu agen, dass sie insgesamt gesehen linear abhängig sind?

Eine Menge von n Vektoren ist linear unabhänig, wenn gilt

$\begin{eqnarray*} k_1v_1 + ... + k_nv_n = 0 \Rightarrow k_1 = k_2 = ... = k_n=0 \end{eqnarray*}$ .

Sind also m Vektoren einer n>m elementigen Menge M linear abhängig, können die Vektoren von M dann linear unabhängig sein?

Nochmal zu den einzelnen Punkten:

a) Du hast eine Menge von 4 Vektoren aus $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ gegeben. Damit diese Vektoren $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ aufspannen, muss es eine 3-elementige Teilmenge linear unabhängiger Vektoren geben. Dazu reicht es zu zeigen, dass die Matrix, deren Spalten die 4 Vektoren sind, den Rang 3 hat.

b) ist eigentlich trivial, da es in $\begin{eqnarray*} R^3 \end{eqnarray*}$ höchstens eine Menge von 3 linear unabhängigen Vektoren geben darf (Folgt aus dem Austauschsatz von Steiniz und der Tatsache, dass die Basis aus Einheitsvektoren 3-elementig ist).

c) Das sind alle 3-elementigen Teilmengen linear unabhängiger Vektoren.

29.05.2009, 15:29

RVD

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ok, da hast du auch wieder recht.

also ist der rang der matrix 3 oder? wüsste nicht wie man da eine nullzeile hin bekommen soll oder habt ihr andere methoden gelernt das festzustellen, welchen rang eine matrix hat?

wieso hat man damit aber gleich die lösung von b)?!

c) versteh ich eigentlich garnicht so richtig was da gemacht werden sollwieviele solcher teilmengen kann es denn geben?! gibt es da nicht unendlich? also ja auf jeden fall die trivialen (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) oder?

29.05.2009, 15:36

RVD

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ok, dann denke ich habe ich a verstanden, wär nur die frage, ob es noch andere möglichkeiten gibt den rang zu bestimmen außer zu gucken, obund wieviele nullzeilen sich ergeben.

b leuchtet mir jetzt auch ein. also im R³ kann es nur 3 linear unabhängige vektoren geben, sobald ein 4. dazu kommt, muss der irgendwie von den andern linear abhängig sein richtig?

bei c bleibt meine frage, ob es da nicht unendlich viele gibt?! zb alle (x,0,0) (0,x,0) (0,0,x) für x aus R

29.05.2009, 15:41

Felix

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Zitat:

also ist der rang der matrix 3 oder? wüsste nicht wie man da eine nullzeile hin bekommen soll oder habt ihr andere methoden gelernt das festzustellen, welchen rang eine matrix hat?

Natürlich bekommst du keine Nullzeile hin, wäre das nämlich möglich, so hätte die Matrix nicht den Rang 3.

Zitat:

wieso hat man damit aber gleich die lösung von b)?!

Siehe was ich unter Punkt b) geschrieben habe ....

Zitat:

c) versteh ich eigentlich garnicht so richtig was da gemacht werden sollwieviele solcher teilmengen kann es denn geben?! gibt es da nicht unendlich? also ja auf jeden fall die trivialen (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) oder?

Ich rede von Teilmengen der 4 angegebenen Vektoren. Ich glaube kaum, dass es hiervon unendlich viele gibt Augenzwinkern

04.06.2009, 00:51

RVD

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sorry, war bis heute nicht da.

aber ok ok, ich denke ich hab das dann so weit durchgeblickt und einige wichtige erkenntnisse gesammelt =)

also eine basis eines raumes sind immer die jeweiligen linear unabhängigen vektoren. also wenn ich im R³ 3 linear unabhängige vektoren haben spannen diese zum einen den raum auf und bilden zugleich auch die basis, genau wie jede andere kombination 3 linear unabhängiger vektoren oder?

naja um dann zu ner andern aufgabe zu kommen, ich hoffe das geht in ordnung da nicht ein extra thema für auf zu machen.

Welche der Vektoren a1 = (-3, -1, 15, 6), a2 = (1, 0, -1, 0), a3 = (1, 1, 1, 0) sind in der linearen Hülle von {b1, b2, b3} mit b1 = (-1, 3, 5, 2), b2 = (2, -1, 0, 1), b3 = (1, -8, 5, 3) enthalten?

muss ich da a1,a2,a3 durchprobieren? also k1*(-1, 3, 5, 2) + k2*(2, -1, 0, 1) + k3*(1, -8, 5, 3) und das dann mit ner matrix ausrechnen? also die konstanten k1,k2,k3.

04.06.2009, 08:23

Felix

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Bilde eine Matrix A, deren Spalten die Vektoren $\begin{eqnarray*} b_1,b_2,b_3 \end{eqnarray*}$ sind und schau ob das dazugehörige LGS fü r $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ lösbar ist.
z.B.:

$\begin{eqnarray*} Ax = a_1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

also eine basis eines raumes sind immer die jeweiligen linear unabhängigen vektoren. also wenn ich im R³ 3 linear unabhängige vektoren haben spannen diese zum einen den raum auf und bilden zugleich auch die basis, genau wie jede andere kombination 3 linear unabhängiger vektoren oder?

Ja so circa. Eine Basis ist:

a) ein linear unabhängiges Erzeugendensystem
b) ein unverkürzbares Erzeugendensystem
c) eine unverlängerbare linear unabhägige Familie

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