Existenz einer holom. Funktion

29.05.2009, 10:46

Dunkit

Existenz einer holom. Funktion

Hi!
Die Aufgabe ist recht kurz, also komme ich direkt zum Punkt ;-)

Zitat:

Gibt es eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{n}{2n-1} \end{eqnarray*}$

Nun frage ich mich, was denn überhaupt für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ sein soll? Und was ist mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ? Da muss doch auch irgendwas sein, wenn die Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gehen soll.

Irgendwie habe ich das Gefühl, die Aufgabe nicht richtig verstanden zu haben... Kann Jemand Licht ins Dunkle bringen?

29.05.2009, 11:01

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Hallo,
naja vermutlich ist n != 0, womit sich das Problem ergibt. Und wo ist das Problem bei n=2?

Dann hat man eben 2/(4-1) = 2/3??

Also:
Es gibt den (bei uns heißt dieser Identitätssatz), und zwar wenn g und f auf einem Gebiet holomorph sind, und f(z)= g(z) auf einer nicht diskreten Menge in dem Gebiet gilt, so folgt, dass f=g auf dem gesamten Gebiet gelten muss.

Da die Menge {1/n | n aus IN} in den komplexen Zahlen nicht diskret ist, folgt aus zwei holomorphen Funktionen f und g: f(1/n) = g(1/n) für alle n aus IN => f(z) = g(z) für alle komplexen Zahlen.

Nun musst du eine holomorphe Funktion g(z) suchen, so dass g(1/n) = f(1/n) für alle natürlichen Zahlen gilt. Dann folgt, dass f(z) = g(z) für alle komplexe Zahlen (bzw. zumindest auf dem Gebiet auf dem g holomorph ist) gilt.

29.05.2009, 11:07

Dunkit

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Sorry, das muss natürlich $\begin{eqnarray*} n=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein. Dann ergibt sich auf der rechten Seite leider wieder was nicht definiertes. Mich stört es eben, dass im Defberecih die 0 nicht ausgeschlossen ist, und dass das Bild nur ganz C sein soll und nicht noch mit $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ drin oder so...

29.05.2009, 11:18

Cordovan

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Es ist wohl $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gemeint.

Cordovan

29.05.2009, 11:20

Dunkit

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Aber dann geht die Fkt doch erst recht nicht von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ?!

29.05.2009, 11:21

Cordovan

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Wieso das denn nicht verwirrt

Die Funktionswerte sind an bestimmten Stellen festgelegt, nämlich auf der Menge $\begin{eqnarray*} \{1/n\ |\ n\in\mathbb N\} \end{eqnarray*}$ . Überall sonst darf die Funktion machen, was sie will, solange sie holomorph ist.

Cordovan

29.05.2009, 11:23

Dunkit

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Achsoooo, ich glaube jetzt habe ich die Aufgabe verstanden, danke Augenzwinkern

31.05.2009, 07:46

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \frac{n}{2n-1} = \frac{1}{2-\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

02.06.2009, 08:32

Dunkit

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Jo thx, das hatte ich schon Augenzwinkern

Mir war nur nicht klar, dass die Fkt nur an bestimmten Stellen festgelegt sein soll. Hatte das irgendwie missverstanden.
Ich denke die Lösung muss ich hier nichtmehr posten, oder?!

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