Singulärwertzerlegung, Eigenwerte vorhanden

29.05.2009, 14:41

Barny.G

Singulärwertzerlegung, Eigenwerte vorhanden

Hallo,

ich begreife es einfach nicht - ggf. ist es auch nur ein kleiner Hinweis, der fehlt, aber ich komm' nicht drauf.

Ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray*} $\underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ \end{eqnarray*}$

aus der ich mit

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}}\:\underline{\underline{A}}^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & -1 \\ 0 & -1 & 1 - \lambda \end{bmatrix} \stackrel{!}{=} 0 \\ 0 = \left( 2 - \lambda \right) \left[ \left( 1 - \lambda \right) \left( 1 - \lambda \right) - 1 \right] \end{eqnarray*}$
die Eigenwerte berechnet habe
$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \: \text{und} \: \lambda_2 = 2 , \lambda_3 = 2 \end{eqnarray*}$

Bis hierher war's auch relativ einfach. Nun möchte ich aber auch noch die Singulärwerte berechnen (nicht ablesen). Bei wikipedia bin ich nicht schlau geworden...

Ach ja, und falls es was hilft, die Eigenvektoren habe ich auch schon berechnet nach:

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}}\:\underline{\underline{A}}^T \: \vec{u}_1 = \lambda_1^2 \: \vec{u}_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{1,1} \\ u_{2,1} \\ u_{3,1} \end{bmatrix} &= 0 \cdot \begin{bmatrix} u_{1,1} \\ u_{2,1} \\ u_{3,1} \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit habe ich den ersten EV gleich mal festgelegt zu
$\begin{eqnarray*} \vec{u}_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$
Die "4" habe ich nur genommen, weil ja die beiden letzten Zeilenelemente gleich sind und sie somit (angeblich?) "frei" wählbar sind...

Alles in Allem gibt das zwei Matritzen:

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{U}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \\ 4 & 3 & 5 \end{bmatrix} \hspace{20pt} \underline{\underline{V}} = \begin{bmatrix} 2 & 7 & 8 \\ 2 & 7 & 8 \\ 0 & 5 & 6 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

So, und hier ist bei mir Schluß mit lustig. Kann mir jemand (anhand des Beispiels) erklären, wie nun die Singulärwerte (Ergebnis lt. MatLab: 2,2,0) berechnet werden?

Vielen Dank für freundliche Hilfe!!

Thomas

29.05.2009, 14:48

tigerbine

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RE: Singulärwertzerlegung, Eigenwerte vorhanden
[Numerik I] - Übung 12 *

29.05.2009, 15:06

Barny.G

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Hallo tigerbine,

das Beispiel kann ich gut nachvollziehen, allerdings stellt sich mir die Frage, ob es immer so ist, dass die EW gleich den Singulärwerten sind. Da muß es doch einen Unterschied geben, wenn die schon verschieden benannt sind verwirrt

Irgendwie verwirren die ganzen "U" und "V" in Verbindung mit "meinen" u's und v's mich total.

Sind meine EV bzw. die Zusammenfassung zu den Matrizen eigentlich richtig berechnet? Damit müsste man doch was anfangen können - oder? So rein pädagogisch betrachtet lässt uns unser Tutor doch nicht erst die EW, dann die EV und dann zum Schluß die Singulärwerte berechnen - oder?

Ich hänge ein bisschen in der Luft...

Viele Grüße

Thoams

29.05.2009, 15:12

tigerbine

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Verstehe deinen Einwand gerade nicht. Denn wir betrachten doch unterschiedliche Matrizen.... $\begin{eqnarray*} A, A^HA \end{eqnarray*}$ A ist in dem Beispiel gar nicht quadratisch, also auch keine Eigenwerte. Dennoch Singulärwerte.

Die SW hast du schnell, das auwändige ist die Berechnung der Singulärwertzerlegung

29.05.2009, 15:19

Barny.G

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Genau. Die SVD soll ja auch berechnet werden! Hammer

Du hast völlig recht.

Jedoch weiß ich nicht woher ich in meinem Beispiel schnell die Singulärwerte bekomme. Durch "scharfes Hinsehen" oder Berechnung?

Bitte nicht die Nerven verlieren Gott

- ich möchte nur nicht schon an den Grundlagen scheitern, sondern verstehen...

29.05.2009, 15:25

tigerbine

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RE: Singulärwertzerlegung, Eigenwerte vorhanden

Zitat:

Ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray*} $\underline{\underline{A}} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ \end{eqnarray*}$

aus der ich mit

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}}\:\underline{\underline{A}}^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1 - \lambda & -1 \\ 0 & -1 & 1 - \lambda \end{bmatrix} \stackrel{!}{=} 0 \\ 0 = \left( 2 - \lambda \right) \left[ \left( 1 - \lambda \right) \left( 1 - \lambda \right) - 1 \right] \end{eqnarray*}$

die Eigenwerte von AA^T berechnet habe

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 0 \: \text{und} \: \lambda_2 = 2 , \lambda_3 = 2 \end{eqnarray*}$

Und das sind die Quadrate der Singulärwerte von A.

29.05.2009, 16:04

Barny.G

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Ist das immer so einfach? Wenn man die Eigenwerte aus der $\begin{eqnarray*} A A^T \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^T A \end{eqnarray*}$ berechnet hat, sind das gleichzeitig die Singulärwerte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

29.05.2009, 16:56

tigerbine

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edit: Nein, erst noch die pos. Wurzel ziehen.

28.07.2009, 19:07

Komand

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sorry, dass ich den alten Thread wieder rausziehe, aber kann es sein, dass hier ein Fehler drinsteckt:

Zitat:

Wenn man die Eigenwerte aus der $\begin{eqnarray*} A A^T \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} A^T A \end{eqnarray*}$ berechnet hat, sind das gleichzeitig die Singulärwerte von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

Honigbiene schrieb damals, das stimme. Ich meine, die SW von A sind die Wurzeln der EW von AA^T. Deshalb gilt wenigstens für reell symmetrische A direkt: EW (nach Betrag)=SW.

Asche über mein Haupt, wenn ich mich irre. smile