C - Vektorraumstruktur auf R

29.05.2009, 17:28

Felix

C - Vektorraumstruktur auf R

Folgende Aufgabe:

Gibt es eine $\begin{eqnarray*} \mathbb C - \text{Vektorraumstruktur} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass die skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} \mathbb C \otimes \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \otimes \mathbb R \end{eqnarray*}$ die übliche Multiplikation reeler Zahlen ist?

Wie darf ich diesen Satz verstehen ? Allgemein würde ich sagen, dass es keine $\begin{eqnarray*} \mathbb C - \text{Vektorraumstruktur} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt. Da ja z.B. $\begin{eqnarray*} 1 \cdot i = i \notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Ist die skalare Multiplikation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \otimes \mathbb R \end{eqnarray*}$ eingeschränkt, so ist es ja eigentlich keine $\begin{eqnarray*} \mathbb C - \text{Vektorraumstruktur} \end{eqnarray*}$ mehr sondern eine $\begin{eqnarray*} \mathbb R - \text{Vektorraumstruktur} \end{eqnarray*}$ , was dann natürlich auch die gewöhnliche Multiplikation reeler Zahlen wäre.

ISt die Antwort nun ja oder nein verwirrt

29.05.2009, 18:01

kiste

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$\begin{eqnarray*} 1\cdot \mathrm i \end{eqnarray*}$ musst du gar nicht betrachten da die rechte Seite reell ist.

Die Frage ist leicht umformuliert: Gibt es eine sinnvolle Wahl von $\begin{eqnarray*} \mathrm i \cdot x \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} -1 \cdot x = \mathrm i \cdot (\mathrm i \cdot x) \end{eqnarray*}$ ? Alle anderen Werte sind dann bereits festgelegt nach der Wahl der Abbildung für $\begin{eqnarray*} \mathrm i \end{eqnarray*}$ .

edit: Falls du das schon hattest kannst du natürlich auch ein rein logisches Argument über die Dimension liefern. Für n-dim K-VR gilt dass sie isomorph zu K^n sind

29.05.2009, 21:04

Felix

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Zitat:

edit: Falls du das schon hattest kannst du natürlich auch ein rein logisches Argument über die Dimension liefern. Für n-dim K-VR gilt dass sie isomorph zu K^n sind

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus. $\begin{eqnarray*} f(r) = a + bi \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} f(r') = a' + b'i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ab' \neq ba' \end{eqnarray*}$ .
Nun ist aber gemäß Voraussetzung $\begin{eqnarray*} r \cdot \frac{r'}{r} = r' \end{eqnarray*}$ .
Demnach ist $\begin{eqnarray*} f(r') = f(r \cdot \frac {r'}{r}) = a \cdot \frac {r'}{r} + b \cdot \frac {r'}{r} i \end{eqnarray*}$ . Und da $\begin{eqnarray*} a \cdot b \cdot \frac {r'}{r} = b \cdot a \cdot \frac {r'}{r} \end{eqnarray*}$ erhält man einen Widerspruch.

Zitat:

Die Frage ist leicht umformuliert: Gibt es eine sinnvolle Wahl von $\begin{eqnarray*} \mathrm i \cdot x \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} -1 \cdot x = \mathrm i \cdot (\mathrm i \cdot x) \end{eqnarray*}$ ?

Nach obigen Beweis nein. Aber wie zeige ich das "direkt" . verwirrt

30.05.2009, 12:14

kiste

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Dein Argument warum es keinen Isomorphismus von R nach C geben kann verstehe ich nicht. Warum sollte f(r'/r) = r'/r sein?
Besser geht es andersrum von f:C->R denn f(1)=1 muss gelten, also f(-1) = -1 und somit -1 = f(-1) = f(i*i) = f(i)^2.

Die direkte Argumentation geht genauso:
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb C \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei die skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} x \mapsto \mathrm i\cdot x \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f^2(1) = -1 \end{eqnarray*}$ .

30.05.2009, 12:56

Felix

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Zitat:

Dein Argument warum es keinen Isomorphismus von R nach C geben kann verstehe ich nicht. Warum sollte f(r'/r) = r'/r sein?

Weil ich r'/r als Skalar auffasse. Aber ich war gestern schon etwas müde. Von den gröbsten Unnötigkeiten befreit sollte mein Beweis wohl so aussehen:

Annahme: Die skalare Multiplikation eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \otimes \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die übliche Multiplikation reeler Zahlen.

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ ein (Vektorraum-)Isomorphismus. Es gilt $\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \end{eqnarray*}$ . Zu $\begin{eqnarray*} a + bi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(r) = a + bi \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist gilt aber auch $\begin{eqnarray*} f(r) = r f(1) = r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ was einen offensichtlichen Widerspruch darstellt. Daher muss die Annahme verforfen werden.

Zitat:

Die direkte Argumentation geht genauso: $\begin{eqnarray*} f : \mathbb C \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei die skalare Multiplikation $\begin{eqnarray*} x \mapsto \mathrm i\cdot x \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f^2(1) = -1 \end{eqnarray*}$ .

So weit war ich auch schon. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} f(1) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^2(1) = -1 \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch darstellen.

30.05.2009, 13:05

kiste

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Mhh sei i*1 = x. Dann ist -1 = -1*1 = i*i*1 = i*x = i*1*x = x^2

30.05.2009, 13:07

Felix

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Vielen Dank für deine Hilfe smile

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