Quadriken

29.05.2009, 18:27

Hanz im Pech

Quadriken

Hi,
ich hätte zu folgender Aufgabe mal eine Frage:

"Bestimmen Sie alle affine Quadriken im IR², die die vier Punkte (1,1), (1,-1), (-1,1) und (-1,-1) enthalten und geben Sie jeweils eine Affinität an, die die Quadrik in ihre affine Normalform überführt."

Hier weiß ich nicht so recht was ich tun soll, und wie ich prüfe, ob eine Quadrik diese 4 Punkte enthält. unglücklich

Hoffe jemand kann mir weiterhelfen!

30.05.2009, 23:30

Hanz im Pech

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Keine Ideeeeeen?

31.05.2009, 14:24

Mathespezialschüler

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Eine Quadrik im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist von der Form

$\begin{eqnarray*} ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0 \end{eqnarray*}$ .

Setze die gegebenen Punkte ein und ziehe die Konsequenzen aus dem Gleichungssystem. Du solltest herausbekommen, dass einige Koeffizienten Null werden.

31.05.2009, 19:35

Hanz im Pech

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Etwa so:

Für (1,1): a + b + c + d + e + f = 0
Für (1,-1): a + b - c + d - e + f = 0
Für (-1,1): a + b - c - d + e + f = 0
Für (-1,-1):a + b + c - d - e + f = 0

Jetzt habe ich doch aber mehr Variablen als Gleichungen verwirrt

Oder kann ich jetzt sagen b und f müssen 0 sein, da sie linear abhängig sind?

01.06.2009, 20:04

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Hanz im Pech
Oder kann ich jetzt sagen b und f müssen 0 sein, da sie linear abhängig sind?

Diese Begründung ist überhaupt nicht sinnvoll. Dann müssten ja einfach in allen möglichen Gleichungssystem einfach immer alle Variablen Null sein. verwirrt

Subtrahiere die vierte von der ersten und die dritte von der zweiten Gleichung. Was kommt heraus? Setze das in alle Gleichungen ein. Du wirst sehen, dass dann nur zwei Gleichungen übrig bleiben. Subtrahiere dann die eine von der anderen. Wenn du das wieder einsetzt, bleibt nur noch eine Gleichung übrig und du kannst die Kegelschnitte schon mal wesentlich vereinfach hinschreiben.

02.06.2009, 17:35

Hanz im Pech

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So, also ich erhalte dann ja:

$\begin{eqnarray*} I-IV: 2d + 2e = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II-III: 2d - 2e = 0 \end{eqnarray*}$

Addiere ich diese beiden dann folgt, dass d=0 und ebenso e=0.

Einsetzen in die Gleichungen:

I: a + b + c + f = 0
II: a + b - c + f = 0
III: a + b - c + f = 0
IV: a + b + c + f = 0

Ist das erstmal so wie du es gemeint hast?

02.06.2009, 18:32

Mathespezialschüler

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Ja. III bzw. IV kannst du wegschmeißen, da sie identisch zu II bzw. I sind. Subtrahiere dann II von I und schaue, was passiert.

02.06.2009, 19:24

Hanz im Pech

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Ok, dann:

I: a + b + c + f = 0
II: a + b - c + f = 0

Nun: $\begin{eqnarray*} I-II: 2c = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt also, dass auch c =0 ist.

Heißt das dann, dass die Quadriken die Form Q: ax² + by² + f = 0 haben?

02.06.2009, 19:30

Mathespezialschüler

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Ja, allerdings kannst du ja nun noch $\begin{eqnarray*} f=-a-b \end{eqnarray*}$ einsetzen.

02.06.2009, 19:38

Hanz im Pech

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Das wäre dann ja eine, warum steht aber in der Aufgabe, dass es mehrere gibt?

Und f=-x²-y² kann ich auch nicht wirklich klassifizieren (also als Parabel, Hyperbel oder so).

Könntest du mir noch dabei helfen, was sie mit der Affinität meinen, um eine affine Normalform zu berechnen?

02.06.2009, 20:34

Mathespezialschüler

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Das wäre nicht eine. Du kannst ja in

$\begin{eqnarray*} ax^2+by^2=a+b \end{eqnarray*}$

die Parameter $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ beliebig wählen. Dementsprechend wären das verdammt viele Quadriken.

Wie sieht denn die affine Normalform aus? Musst du dafür hier noch transformieren?

02.06.2009, 22:49

Hanz im Pech

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Vorweg: Warum hast du $\begin{eqnarray*} ax^2+by^2=a+b \end{eqnarray*}$ rechts jetzt a+b geschrieben?

Ist es richtig, dass die affine Normalform x²+y² = 1 heissen würde?

Ich glaube man müsste transformieren und zwar mit $\begin{eqnarray*} Sx+b \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} S \in GL(2) \end{eqnarray*}$

Dann würde ich jetzt die Matrix A aufstellen: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=> RangA=2 und die EW lauten a und b.

Die erweiterte Matrix von A hat den Rang 3, also kommen als Klassifikationen nur Hyperbeln und Ellipsen in Frage, mit

Hyperbel: x²-y²=1
Ellipse: x²+y²=1

Soweit ok, oder bin isch aufm Holzweg?

04.06.2009, 00:01

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Hanz im Pech
Vorweg: Warum hast du $\begin{eqnarray*} ax^2+by^2=a+b \end{eqnarray*}$ rechts jetzt a+b geschrieben?

Weil nach Einsetzen von $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ nunmal die Gleichung $\begin{eqnarray*} a+b+f=0 \end{eqnarray*}$ übrig bleibt.

Zitat:

Original von Hanz im Pech
Ist es richtig, dass die affine Normalform x²+y² = 1 heissen würde?

Das wäre die affine Normalform für eine Ellipse. Es gibt aber noch mehr.

Zitat:

Original von Hanz im Pech
Dann würde ich jetzt die Matrix A aufstellen: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
=> RangA=2 und die EW lauten a und b.

Die erweiterte Matrix von A hat den Rang 3, also kommen als Klassifikationen nur Hyperbeln und Ellipsen in Frage, mit

Hyperbel: x²-y²=1
Ellipse: x²+y²=1

Die Matrix ist schön und gut. Aber mit dieser Matrix überführst du deine Quadrik nicht in affine Normalform.

Mache eine Fallunterscheidung:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} a=-b \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Quadrik beschrieben durch $\begin{eqnarray*} ax^2-ay^2=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |x|=|y| \end{eqnarray*}$ . Das ist ein sich schneidendes Geradenpaar.

2. Fall: $\begin{eqnarray*} a\neq -b \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} a+b\neq 0 \end{eqnarray*}$ und die Quadrik beschrieben durch

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{a+b}\cdot x^2+\frac{b}{a+b}\cdot y^2=1 \end{eqnarray*}$ .

Mache nun eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} \frac{a}{a+b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{b}{a+b} \end{eqnarray*}$ . Die Transformation, die diese Quadrik in Normalform überführt, ist übrigens die Abbildung

$\begin{eqnarray*} (x,y)\mapsto \left(\sqrt{\frac{|a|}{|a+b|}}\cdot x,\sqrt{\frac{|b|}{|a+b|}}\cdot y\right) \end{eqnarray*}$ ,

welche durch die Matrix

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{|a|}{|a+b|}} & 0 \\ 0 & \sqrt{\frac{|b|}{|a+b|}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bezüglich der Standardbasis gegeben ist.

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