Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht!

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29.05.2009, 22:19	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Hallo, ich versteh leider nicht vorgehensweise, bei folgender Art von Funktionen, könnte mir es jemand an folgendem Beispiel erklären? *$\begin{eqnarray} f(x) = 2x² + \frac{3}{2} x + \frac{5}{2} \end{eqnarray}$* Der Punkt lautet: *$\begin{eqnarray} P(3;25) \end{eqnarray}$*
29.05.2009, 22:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! 0, denn er liegt auf dem Graphen?
29.05.2009, 22:39	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Stimmt, ich hab mir die Aufgabe gerade ausgedacht, dann nehmen wir doch einfach den Punkt $\begin{eqnarray} P(2;1) \end{eqnarray}$
29.05.2009, 22:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! So, wir nehmen ja wohl die euklidische Norm um den Abstand zu messen. $\begin{eqnarray} d=\sqrt{(2-x)^2 + (1-f(x))^2} \end{eqnarray}$
29.05.2009, 22:48	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Ich glaube in deiner Gleichung den Pytagoras wieder zu erkennen, aber von einer euklidischen Norm hab ich noch nichts gehört.... Kannst du mir erklären, wie du darauf gekommen bist?
29.05.2009, 22:51	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Gibt doch auch google & Co.. Aber wenn ein Schüler Pythagoras erkennt So wird gemessen. Also Dreieck einmalen, was den Abstand darstellt, dann hast du die Hereitung. Auch mal das Thema Kreisgleichung anschauen. Wir suchen den kleinsten Kreis, um (2,1) , der den Graphen berührt.
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29.05.2009, 22:57	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Nun ja, ich bin im Zeichnen nicht so gut, daher sollte ich schon wissen, wie ich rechnerisch an die Sache rangehe...
29.05.2009, 22:58	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Das steht doch da.... Das Dreieck sollte dir nur beim Verstehen helfen.
29.05.2009, 23:02	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Okay, aber ich verstehe jetzt immer noch nicht, wie mir das helfen soll, die kürzeste Strecke zu diesem Punkt zu finden.
29.05.2009, 23:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Naja, da steht im Grunde die Funktion d(x). suche ihr Minimum....
29.05.2009, 23:55	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Okay, nach stundenlanger Grübellei möchte ich jetzt gern mein Ergebnis vorstellen. Zuerst einmal hab ich die Funktion so hingeschrieben: *$\begin{eqnarray} (d(x))² = \left(2-x\right)² + \left(1-f(x)\right)² \end{eqnarray}$* Dann habe ich für f(x) eingesetzt: *$\begin{eqnarray} d²= \left(2-x\right)² + \left(1-(2x²+\frac{2}{3}x + \frac{5}{3} )\right)² \end{eqnarray}$* Dann hab ich ausgeklammert und habe zusammen gefasst, ich hoffe, dass mir dabei keine Fehler unterlaufen sind... *$\begin{eqnarray} d² = 4x^{4} - 3x³ - \frac{15}{4} x² + \frac{7}{2} x + \frac{225}{16} \end{eqnarray}$*
30.05.2009, 00:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! $\begin{eqnarray} f(x) = 2x² + \frac{3}{2} x + \frac{5}{2} \end{eqnarray}$ Mal ein paar Werte. Man kann sich ja ungefähr denken, wo das ganze landen wird. $\begin{eqnarray} r(0)=\sqrt{(2-0)^2+(1-\frac{5}{2})^2} = 2.5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r(0.5)=\sqrt{(2-0.5)^2+(1-f(0.5))^2} \approx 3.13 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r(x)=\sqrt{4x^4+6x^3+8.25x^2+4.5x+2.25} \end{eqnarray}$
30.05.2009, 10:17	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! ??????????????? Was hast du denn jetzt gemacht? Den Punkt durch ausprobieren näherungsweise ausfindig gemacht? Ich hätte jetzt die Gleichung, die ich da raus hatte, einfach abgeleitet, gleich null gesetzt. Dann hätte ich doch theoretisch die x-Punkte, wo der Abstand zur Funktion am kürzesten ist... Ist die Funktion falsch, die ich aufgestellt habe?
30.05.2009, 10:29	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Liebes "Warum", ich gebe doch die Funktionen an. Die Bilder sollen nur Illustrieren, was gemacht wird, oder was rauskommen wird. Dein Vorgehen ist richtig -> Quadrieren aber begründen. Minimum begründen. Und dann doch bitte die richtige Funktion einsetzten.
30.05.2009, 13:44	Warum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Okay, liebe Tigerbiene!^^ Die Konstante in der Gleichung lautet aber $\begin{eqnarray} \frac{93}{4} \end{eqnarray}$ . Dann leite ich die Funktion ab, da kommt dann raus: *$\begin{eqnarray} f'(x) = 16x³ - 9x² -\frac{15}{2} x + \frac{7}{2} \end{eqnarray}$* Wenn ich das dann gleich Null setze, kommen folgende Nullstellen heraus: *$\begin{eqnarray} x_1 = -0,6572061 \end{eqnarray}$* *$\begin{eqnarray} x_2 = 0,41218569 \end{eqnarray}$* *$\begin{eqnarray} x_3 = 0,80752045 \end{eqnarray}$* Sind dies nun die kürzesten Punkte zu unserem Punkt?
30.05.2009, 19:09	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kürzester Abstand eines Punktes zum Graphen gesucht! Geht doch viel einfacher: die kürzeste Verbindung zwischen Punkt und Graphen ist die Normale desselben, steht also senkrecht darauf. Sei $\begin{eqnarray} Q(x_0\|y_o) \end{eqnarray}$ der Schnittpunkt des Graphen mit der Normalen. Die Normalen-Steigung wäre $\begin{eqnarray} m=-\frac{1}{f'(x_0)}=-\frac{1}{4x_0+1,5x_0} \end{eqnarray}$ Geradengleichung wäre: $\begin{eqnarray} y=m(x-x_0)+y_0=-\frac{x-x_0}{4x_0+1,5x_0}+y_0 \end{eqnarray}$ Wenn man noch berücksichtigt,dass die Normale durch $\begin{eqnarray} P(2\|1) \end{eqnarray}$ geht und $\begin{eqnarray} y_0=f(x_0) \end{eqnarray}$ , gilt: $\begin{eqnarray} 1=\frac{2-x_0}{4x_0+1,5x_0}+2x_0^2+1,5x_0+2,5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8x_0^3+3x^2+1,25x-0,25=0 \end{eqnarray}$ eine Lösung : $\begin{eqnarray} x_0=0,14 \end{eqnarray}$ (ungefähr) damit $\begin{eqnarray} d=2,55 \end{eqnarray}$
30.05.2009, 20:31	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenfehler Die Gleichung lautet natürlich: $\begin{eqnarray} 8x^3+9x^2+9,25x+0,25=0 \end{eqnarray}$ Deren einzige Lösung ist $\begin{eqnarray} x=-0,0278 \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} d=\sqrt{(x-2)^2+(f(x)-1)^2}=2,498 \end{eqnarray}$

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