Formel lösen

30.05.2009, 08:32

nicole22

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Formel lösen

Hallo,

ich muss folgende Formel nach p auflösen und komme leider nicht weiter:

p^2(1+(c^2/n)) + p(-2H - (c^2/n)) +H^2 = 0

Das ganze muss ich mit der pq-Formel lösen, deswegen habe ich durch (1+(c^2/n)) geteilt:

p^2 + p*((-2H-(c^2/n))/(1+(c^2/n)) + H^2/(1+(c^2/n)) =0

Aber wie kann ich das in die pq-Formel einsetzen?

Danke euch...

30.05.2009, 09:13

vaan

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RE: Formel lösen
Um es in die pq Formel eisetzen zu können, musst du die Formel durch zusammenfassen auf die folgende Form bringen:

x^2 + p*x + q

und dann nur noch einsetzen.

30.05.2009, 11:43

nicole22

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RE: Formel lösen
Das ist mir auch klar, aber wie bringe ich das in diese form, das ist mein probem?

30.05.2009, 12:19

Huggy

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RE: Formel lösen
Viel einfacher als du denkst, nämlich einfach durch umbenennen! Deine Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} p^2-\frac{2H+\frac{c^2}{n}}{1+\frac{c^2}{n}}p+\frac{H^2}{1+\frac{c^2}{n}}=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt benennst du p um in x, weil die Unbekannte meist x genannt wird und weil das p in der pq-Formel eine andere Bedeutung hat. Dann steht da:

$\begin{eqnarray*} x^2-\frac{2H+\frac{c^2}{n}}{1+\frac{c^2}{n}}x+\frac{H^2}{1+\frac{c^2}{n}}=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt du

(*) $\begin{eqnarray*} -\frac{2H+\frac{c^2}{n}}{1+\frac{c^2}{n}}=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{H^2}{1+\frac{c^2}{n}}=q \end{eqnarray*}$

und schon steht

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

da, ohne dass du bisher etwas gerechnet hast. Nun schreibst du die Lösung der letzten Gleichung mittels der pq-Formel hin:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2}= ... \end{eqnarray*}$

In der Lösung ersetzt du jetzt wieder p und q durch die Ausdrücke in (*). Und danach kannst du x wieder p nennen.

31.05.2009, 19:09

nicole22

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RE: Formel lösen
Wenn ich das dann in die pq-Formel einsetze steht da:

x1,2 = -(-2H+(c^2/n))/2(1+(c^2/n)) +- Wurzel aus (-(-2H+(c^2/n))/2(1+(c^2/n)))^2 -H^2/(1+(c^2/n))

Dann muss ich den Term vereinfachen, um die Wurzel auflösen zu können:

x1,2 = -(-2H+(c^2/n))/2(1+(c^2/n)) +- Wurzel aus ((4H^2+^(c^4/n^2)/(4+(4c^4/n^2)) -H^2/(1+(c^2/n))

Aber wie kann ich das dann weiter zusammenfassen?

Danke für die Hilfe!

31.05.2009, 19:44

Huggy

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RE: Formel lösen
Ohne Latex sind deine Ausdrücke sehr schwer lesbar. Ich helfe gern weiter, wenn du das mal lesbar mit dem Formeleditor aufschreibst.

Ohne es geprüft zu haben, vermute ich, dass man die Wurzel vereinfachen, aber nicht völlig auflösen kann.

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31.05.2009, 19:57

nicole22

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RE: Formel lösen
Danke für deine schnelle Antwort.

Sorry, für das blöde Aufschreiben.

Habe es noch einmal mit dem Formeleditor aufgeschrieben, hoffe das es so besser verständlich ist:

$\begin{eqnarray*} x1,2= -\frac{-2H+\frac{c^2}{n}}{2(1+\frac{c^2}{n})} +- \sqrt{(-\frac{-2H+\frac{c^2}{n}}{2(1+\frac{c^2}{n})})^2 - (\frac{H^2}{1+\frac{c^2}{n}})} \end{eqnarray*}$

31.05.2009, 20:28

Huggy

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RE: Formel lösen
Das ist viel besser!

Zunächst mal: Wenn ich die Aufgabe richtig gelesen habe, ist das - vor dem 2H falsch. Ich hatte gelesen

$\begin{eqnarray*} -2H-\frac{c^2}{n} \end{eqnarray*}$

und das in

$\begin{eqnarray*} -(2H+\frac{c^2}{n}) \end{eqnarray*}$

umgeformt.

Um die Sache übersichtlicher zu gestalten, würde ich erst mal alle Brüche mit n erweitern. Dadurch fallen die Doppelbrüche weg. Dann würde ich die Terme unter der Wurzel auf den Hauptnenner bringen und zusammenfassen.

31.05.2009, 20:33

nicole22

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RE: Formel lösen
Sorry, da hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen, es muss dann dadurch das die pq-formel -p/2 heißt positiv werden:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2H+\frac{c^2}{n}}{2(1+\frac{c^2}{n})} +- \sqrt{(\frac{2H+\frac{c^2}{n}}{2(1+\frac{c^2}{n})})^2 - (\frac{H^2}{1+\frac{c^2}{n}})} \end{eqnarray*}$

31.05.2009, 20:37

Huggy

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RE: Formel lösen
Das sollte jetzt richtig sein.
Weitere Vereinfachung, wie oben von mir vorgeschlagen.

31.05.2009, 20:42

nicole22

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RE: Formel lösen
Wenn ich das mit n erweitere steht da folgendes:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- \sqrt{(\frac{2nH+c^2}{2n+c^2)})^2 - (\frac{nH^2}{n+c^2})} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

31.05.2009, 20:51

Huggy

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RE: Formel lösen
Fast!

Der Term $\begin{eqnarray*} (\frac{p}{2})^2 \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel enthält noch einen kleinen Fehler.

31.05.2009, 20:53

nicole22

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RE: Formel lösen
Und dann muss ich ja erst einmal das Quadrat auflösen, damit ich auf einen Hauptnenner bringen kann:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- \sqrt{(\frac{4n^2H^2+c^4}{4n^2+c^4)}) - (\frac{nH^2}{n+c^2})} \end{eqnarray*}$

Und dann wäre der Hauptnenner: 4n^2 +c^4?

Welchen Fehler enthält der Term?

31.05.2009, 20:57

nicole22

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RE: Formel lösen
Hab ihn gefunden, da fehlt ne 2 vorm c^2, es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- \sqrt{(\frac{4n^2H^2+c^4}{4n^2+4c^4)}) - (\frac{nH^2}{n+c^2})} \end{eqnarray*}$

Dann ist der Hauptnenner: 4n^2+4c^4?

31.05.2009, 20:57

Huggy

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RE: Formel lösen
Ei jei jei!!!
Das ist in die Hose gegeangen!

Eriinere dich: $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

Wo ist bei dir das 2ab geblieben?

31.05.2009, 21:00

nicole22

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RE: Formel lösen
Das hab ich weggelassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- \sqrt{(\frac{4n^2H^2+c^4+4nHc^2}{4n^2+4c^4+8nc^2)}) - (\frac{nH^2}{n+c^2})} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es passe, dann ist der Hauptnenner 4n^2+4c^4+8nc^2?

31.05.2009, 21:13

Huggy

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RE: Formel lösen
Denke auch, das passt. Freude

Freude

Es ist aber übersichtlicher, den Hauptnenner als

$\begin{eqnarray*} 4(n+c^2)^2 \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Da sieht man gleich, womit der zweite Term unter der Wurzel erweitert werden muss.

Muss gleich weg. Schaue morgen Vormiitag wieder rein.

31.05.2009, 21:27

nicole22

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RE: Formel lösen
Das wäre super, ich schreibe solange noch ein wenig weiter:

Wenn ich jetzt auf den Hauptnenner bringe, habe ich:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- \sqrt{(\frac{4n^2H^2+c^4+4nHc^2-4n^2H^2-4nH^2c^2}{4(n+c^2)(n+c^2)}} \end{eqnarray*}$

Dann fällt das 4n^2H^2 weg und es steht noch:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- \sqrt{(\frac{c^4+4nHc^2-4nH^2c^2}{4(n+c^2)(n+c^2)}} \end{eqnarray*}$

Nur dann weiß ich leider nicht weiter, wie ich den Term unter der Formel weiter vereinfachen soll.

Vielen Dank für deine nette Hilfe!

31.05.2009, 21:46

nicole22

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RE: Formel lösen
Ich habe jetzt c^2 ausgeklammert und die 4 im nenner "weggemacht", aber wenn ich jetzt die Wurzel ziehe, habe ich ja überall Wurzeln :-(...

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- \sqrt{(\frac{c^2(c^2/4+nH-nH^2)}{(n+c^2)^2})} \end{eqnarray*}$

01.06.2009, 09:16

Huggy

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RE: Formel lösen
Das sieht richtig aus.

Zitat:

Original von nicole22
Ich habe jetzt c^2 ausgeklammert und die 4 im nenner "weggemacht", aber wenn ich jetzt die Wurzel ziehe, habe ich ja überall Wurzeln :-(...

Die Wurzel kannst du teilweise schon ziehen, nämlich aus dem ausgeklammerten c^2, aus dem Nenner und aus der 4, wenn du die im Nenner lässt.

Die verbleibende Wurzel lässt sich nicht weiter vereinfachen. Aber die beiden Brüche kann man noch zusammenfassen, weil sie den gleichen Nenner haben.

01.06.2009, 11:13

nicole22

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RE: Formel lösen
Wenn ich die Wurzel ziehe, dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{2nH+c^2}{2n+2c^2} +- (\frac{c(c/2+\sqrt{nH}-\sqrt{n}*H}{(n+c^2)} \end{eqnarray*}$

Auf einen Nenner bringen:

$\begin{eqnarray*} x1,2= \frac{nH+c^2/2}{n+c^2} + (\frac{c(c/2+\sqrt{nH}-\sqrt{n}*H}{(n+c^2)} \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} x1= \frac{nH+c^2 +c(\sqrt{nH}-\sqrt{n}*H)}{n+c^2} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das mit - mache steht:

$\begin{eqnarray*} x2= \frac{nH-c*\sqrt{nH}+c*\sqrt{n}*H}{n+c^2} \end{eqnarray*}$

Und so ist es fertig?

01.06.2009, 11:56

Huggy

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RE: Formel lösen
Ich bin betrübt. unglücklich

unglücklich

Man kann aus einer Summe keine Wurzel ziehen, wie du es getan hast:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ }

Es ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{c^2(c^2+4nH-4nH^2)}{4(c^2+n)^2}}=\frac{c\sqrt{c^2+4nH-4nH^2}}{2(c^2+n)} \end{eqnarray*}$

Die verbleibende Wurzel lässt sich nicht weiter vereinfachen.

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