Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln

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zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln
Guten Morgen,

ich soll mir überlegen ob es eine -Funktion gibt, so dass , für alle mit gilt.
Meine erste Idee war es die Stammfunktionen der partiellen Ableitungen zu ermitteln, also: und Aber nun weis ich nicht so recht weiter, wie bekomme ich den nun eine gemeinsame Stammfunktion? Ich denke ich muss den Konstantenfaktor entsprechend bestimmen, aber wie?

Viele Grüße Wink
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln
Eine notwendige Bedingung ist doch, dass die gemischten Ableitungen gleich sein müssen:
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln
Hallo kaguya_hime!

Zitat:
Original von kaguya_hime
Eine notwendige Bedingung ist doch, dass die gemischten Ableitungen gleich sein müssen:

Warum, wegen der Voraussetzung dass f ist, also wegen Satz von Schwarz?


Aber es gilt:


Wenn ich nun annehme es muss gelten:
Und meine Voraussetzung ist erfüllt, also stimmen die gemischten Ableitungen überein.

Wie komme ich nun auf die Funktion ? Ich habe versucht, zu berechnen aber dass kann es wohl kaum sein.... da kommt ein rießiger Ausdruck raus, ist sehr schwer zu integrieren und dieser erfüllt dann nicht die Forderung an die partiellen Ableitung, bedeutet dann dies das nicht existiert?

Viele Grüße Wink
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln
Ja, das gilt für jede C^2-Funktion aufgrund des Satzes von Schwarz. Die gemischten Ableitungen der hypothetischen Funktion f stimmen aber nicht überein, außer auf der Geraden x=y. Ist damit nicht schon alles klar?
Wie genau kommst Du darauf, dass die gemischten Ableitungen doch übereinstimmen?
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln
Steht in der Angabe:

Zitat:
ich soll mir überlegen ob es eine -Funktion gibt, so dass , für alle mit


Was nun?
kaguya_hime Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln
O ja, wir kennen die Funktion ja nur auf dem Kreuz {X=1 oder Y=0}. Also können wir den Satz von Schwarz nicht zu Rate ziehen. Mein Fehler.

Anderer Vorschlag:
Wir wissen also auf y=0 und auf x=1. Bilde vielleicht mal die Wegintegrale über die beiden Geraden. So erhältst Du f(x,0) und f(1,y) (bis auf eine Konstante f(1,0)=c). Vielleicht sieht man dann schon, welche Funktion f ist.
 
 
zwergnase Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktion mittels partiellen Ableitung ermitteln
Zitat:
Original von kaguya_hime
O ja, wir kennen die Funktion ja nur auf dem Kreuz {X=1 oder Y=0}. Also können wir den Satz von Schwarz nicht zu Rate ziehen. Mein Fehler.


Wieso? Für den Satz von Schwarz muss doch die Funktion nur auf einem Gebiet definiert sein und dort stetig, reicht da nicht der Punkt?

Anderer Vorschlag:
Wir wissen also Wieso?



auf y=0 und auf x=1. Bilde vielleicht mal die Wegintegrale über die beiden Geraden. So erhältst Du f(x,0) und f(1,y)
Also, so? und analog:

Habe ich die Wegintegrale so richtig berechnet?
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