Komplexe Optimierungsaufgabe, bestehend aus Zylinde, Kegel und Halbkugel...

30.05.2009, 11:55

Warum

Komplexe Optimierungsaufgabe, bestehend aus Zylinde, Kegel und Halbkugel...

Hallo,

in ein paar Tagen werde ich eine Klausur über Extremwertaufgaben schreiben, daher habe ich mich im Netz nach Aufgaben umgesehen und bin auch fündig geworden, leider habe ich ein paar Probleme beim Rechenvorgangl.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein rotationssymmetrisches Werkstück hat die Form eines Zylinders mit auf der einen Seite aufgesetzter Halbkugel und auf der anderen Seite aufgesetztem Drehkegel. Die Radien von Zylinder, Halbkugel und Drehkegel sind gleich. Die Höhe des Drehkegels verhält sich zu seinem Radius wie 15 : 8. Das Volumen des Werkstücks ist 333 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ cm³. Wie ist das Werkstück zu dimensionieren, damit die Oberfläche minimal wird?

Also, ich habe natürlich erst einmal mit einer Planzeichnung begonnen, um sich den ganzen Kram optisch erst mal bewusst zu werden. Ob ich mir das richtig so gedacht habe, könnt ihr auf hier überprüfen:

http://www.bilderhosting.info/images/image153594.jpg
[/url]
[url=http://www.bilderhosting.info/]
Dann habe ich aus dem gegebenen Verhältnis

$\begin{eqnarray*} \frac{h_2}{r} = \frac{15}{18} \end{eqnarray*}$

die Höhe bestimmt, also:

$\begin{eqnarray*} h_2 = \frac{15r}{8} \end{eqnarray*}$

Und daraus hab ich dann folgende Gleichung erstellt, könnt ihr mir sagen, ob es soweit richtig ist?

$\begin{eqnarray*} \pi r² h_1 + \frac{1}{3} \pi r² \frac{15}{8} r + \frac{2}{3} \pi r³ = 333\pi \end{eqnarray*}$

30.05.2009, 13:31

klarsoweit

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RE: Komplexe Optimierungsaufgabe, bestehend aus Zylinde, Kegel und Halbkugel...
Soweit ok. Freude

30.05.2009, 14:05

Warum

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RE: Komplexe Optimierungsaufgabe, bestehend aus Zylinde, Kegel und Halbkugel...
Okay, vielen Dank, ich hab die Gleichung jetzt weitestgehend vereinfacht, jetzt komm ich aber an eine Stelle, wo ich nicht weiter weiß....

Im Moment sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} r² h_1 + \frac{31}{24} r³ = 333 \end{eqnarray*}$

30.05.2009, 14:45

sulo

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RE: Komplexe Optimierungsaufgabe, bestehend aus Zylinde, Kegel und Halbkugel...
Bis jetzt hast Du Dich ja ausschließlich um die Nebenbedingung gekümmert. Du kannst sie umformen, bis einen Ausdruck für h (oder wahlweise für r) stehen hast.

Dann wird es Zeit, mal an die Hauptbedingung zu gehen.... Augenzwinkern

LG sulo

30.05.2009, 14:46

Elvis

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... das bringt dich nicht wirklich weiter. Wenn du die "minimale Oberfläche" suchst, solltest du zuerst die "Oberfläche" berechnen.

30.05.2009, 14:54

sulo

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@Elvis
Aha, und die Gleichung für die Oberfläche des Körpers ist Deiner Meinung nach nicht die Hauptbedingung? verwirrt

30.05.2009, 14:57

grybl

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@sulo: wo siehst du die Gleichung der Oberfläche?

@warum: wenn du mir eine pn schickst, solltest du auch solche empfangen können geschockt

weiter Vorgehensweise (schon weiter oben angesprochen):

aus Nebenbedingung eine Variable ausdrücken

in Hauptbedingung (Oberfläche), die du erst erstellen musst, einsetzen

ableiten

0 setzen

etc.

30.05.2009, 15:00

sulo

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@ grybl

Zitat:

@sulo: wo siehst du die Gleichung der Oberfläche?

Nirgendwo, deswegen wird es ja Zeit, sich um die HB zu kümmern ... Big Laugh

30.05.2009, 16:29

Warum

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@ grybl: Ja, das wäre klug, ich hab es auch geändert, du kannst mir nun ruhig persönliche Nachrichten schicken!^^

Zuerst zu meiner letzten Gleichung, sie ist die Nebenbedingung und der Einfachheit halber werde ich sie nach $\begin{eqnarray*} h_1 \end{eqnarray*}$ gleichstellen:

$\begin{eqnarray*} h_1 = \frac{333}{r²} - \frac{31}{24} r \end{eqnarray*}$

Nun, dann wollen wir die Gleichung für die Oberfläche festlegen, die sich aus Kegel, Zylinder und Halbkugel ergibt:

$\begin{eqnarray*} A_O = \pi r \left(r+s\right) + 2\pi r \left(r+h_1\right) + 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

Für die Oberfläche brauchen wir ja jetzt die Seitenkante s des Kegels:

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{r² + h^{2}_2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s = 17 dm \end{eqnarray*}$

Ist alles so weit richtig?

30.05.2009, 17:07

sulo

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_O = \pi r \left(r+s\right) + 2\pi r \left(r+h_1\right) + 2 \pi r² \end{eqnarray*}$

Hier musst Du beachten, dass Du nicht die Oberflächen der Körper einsetzen kannst, da die Grundflächen nicht vorhanden sind.
Daher besser die Mantelfläche von Zylinder und Kegel wählen.... Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{r² + h^{2}_2 } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s = 17 dm \end{eqnarray*}$

Wie kommst Du für s auf einen konkreten Wert? verwirrt

Ich habe da nur ein Vielfaches von r raus .....

30.05.2009, 18:45

Warum

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Upps, da bin ich doch in meinem Aufgabengewusel durcheinander gekommen, sorry, die Werte sind aus einer anderen Aufgabe.

Okay, dadurch, dass die Grundfläche fehlt, ergibt sich somit folgende Oberflächenformel:

$\begin{eqnarray*} A_O = \pi r \left(h_1 + r + \frac{1}{2} s \right) <b> \end{eqnarray*}$

Somit müsste sich die Seitenkante s durch den Pytagoras ergeben:

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{r²+h²_2} \end{eqnarray*}$

30.05.2009, 18:50

sulo

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Soweit ist jetzt alles richtig Freude

Das s kann aber noch konkreter werden, wie gesagt, ein Vielfaches von r....

edit: Ich merke erst eben, dass ich etwas bei Deiner Formel übersehen habe:

$\begin{eqnarray*} A_O = \pi r \left(h_1 + r + \frac{1}{2} s \right) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt natürlich die 2 vor der Klammer. Ich gehe davon aus, dass Du nur vergessen hast, sie aufzuschreiben, denn das 1/2 in der Klammer steht da ja nur, weil die 2 eben ausgeklammert wurde....

edit2: Deine Pausen sind mir zu lange, deshalb hier zur Kontrolle mein Ergebnis für die minimale Oberfläche: $\begin{eqnarray*} A_O = \frac{333}{2}\pi \end{eqnarray*}$

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