Paarweise verschiedene Mengen |
30.05.2009, 19:21 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Paarweise verschiedene Mengen ich komme mal wieder mit kringeln und überstrichenen Buchstaben. Also, die Aufgabe lautet: Finden Sie für ein Ihrer Wahl jeweils eine Menge , so dass die Mengen (i) paar weise verschieden sind. Jetzt habe ich mir z.B. [0,1) angesehen. Die ist ja weder offen, noch abgeschlossen. Also gehört z.B. die 0 nicht zu aber zu M. Und die 1 gehört zu aber ebenso nicht zu M. Dann verstehe ich doch richtig: Wenn ich schreibe: und Aber was kann ich denn jetzt noch konstruieren damit verschieden ist? Denn ich denke doch dass . Also schonmal nicht. Oder sehe ich das falsch? Schmo ps. Wird eigentlich als "Kern" bezeichnet? |
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30.05.2009, 19:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Manchmal wohl als "innerer Kern". Ist aber eher ungewöhnlich. Ich sehe im Prinzip drei Möglichkeiten, weitere Mengen zu erzeugen: 1. Füge einen isolierten Punkt hinzu, z.B. . 2. Füge geeignet ein Intervall hinzu, was zwar disjunkt von dem gegebenen ist, aber sehr nah dran liegt, in diesem Fall z.B. . 3. Füge eine Menge hinzu, deren Abschluss ein ganzes Intervall ist, deren Inneres aber leer ist, z.B. . Sieh dir nun jeweils an, was passiert! Wenn du alle drei Möglichkeiten kombinierst, bekommst du durch abwechselndes Inneres- und Abschluss-Bilden insgesamt sieben Mengen. Mehr sind übrigens niemals möglich. |
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31.05.2009, 19:53 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ja, Sei also , dann ist Bei bin ich mir noch mehr unsicher als bei den oben, aber ich glaub das ist richtig so: also was ist die Menge ? Sie enthält ist jedenfalls, weil vollständig, die 3 selbst, den nächsten Punkt neben der 3 Richtung 0 und den nächsten Punkt neben der 3 in Richtung unendlich. Ganz vorsichtig: jedenfalls das größe Element in der Menge und das kleinste Element in . Wie ich das richtig aufschreibe... kommt mir grad nicht so recht in den Sinn auf die Schnelle. Irgendwie in der Art für alle dann ist 3 ein innerer Punkt von und also . So in der Art? |
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31.05.2009, 20:58 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Abschluss von {3} ist natürlich {3} selber. Und dein offener Kern des Abschlusses am Ende ist auch nicht richtig. |
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31.05.2009, 22:45 | schmouk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dass der Abschluss von {3} = {3} ist, leuchtet mir letztlich ein. Aber jetzt bin ich durch den anderen Thread in Zweifel über das Innere von {3} geraten. Sei also . Dann ist 3 innerer Punkt in {3} wenn also muss es ein Epsilon>0 geben, so dass d(x,3) kleiner/gleich epsilon ist (für x aus IR^n). Dann ist doch nicht ausgeschlossen, dass x=3 ist. Und dann wäre d(3,3)=0<epsilon und also . Oder kann/muss ich den Fall doch rausnehmen, weil sonst jeder Punkt grundsätzlich ein innerer wäre? Vielleicht ist auch einfach zu spät :/ EDIT: Aaah, das Zauberwort ist "offene umgebung"
B(x,0) ist keine offene Umgebung. Also ist {3}°={} |
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01.06.2009, 00:11 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. |
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