Paarweise verschiedene Mengen

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schmouk Auf diesen Beitrag antworten »
Paarweise verschiedene Mengen
Hi, it's me again,

ich komme mal wieder mit kringeln und überstrichenen Buchstaben.

Also, die Aufgabe lautet: Finden Sie für ein Ihrer Wahl jeweils eine Menge , so dass die Mengen

(i)

paar weise verschieden sind.


Jetzt habe ich mir z.B. [0,1) angesehen. Die ist ja weder offen, noch abgeschlossen. Also gehört z.B. die 0 nicht zu aber zu M. Und die 1 gehört zu aber ebenso nicht zu M.

Dann verstehe ich doch richtig: Wenn ich schreibe:
und

Aber was kann ich denn jetzt noch konstruieren damit verschieden ist? Denn ich denke doch dass . Also schonmal nicht. Oder sehe ich das falsch?

Schmo

ps.

Wird eigentlich als "Kern" bezeichnet?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
Wird eigentlich als "Kern" bezeichnet?

Manchmal wohl als "innerer Kern". Ist aber eher ungewöhnlich.

Ich sehe im Prinzip drei Möglichkeiten, weitere Mengen zu erzeugen:

1. Füge einen isolierten Punkt hinzu, z.B. .

2. Füge geeignet ein Intervall hinzu, was zwar disjunkt von dem gegebenen ist, aber sehr nah dran liegt, in diesem Fall z.B. .

3. Füge eine Menge hinzu, deren Abschluss ein ganzes Intervall ist, deren Inneres aber leer ist, z.B. .

Sieh dir nun jeweils an, was passiert!

Wenn du alle drei Möglichkeiten kombinierst, bekommst du durch abwechselndes Inneres- und Abschluss-Bilden insgesamt sieben Mengen. Mehr sind übrigens niemals möglich.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Also ja,

Sei also , dann ist

Bei bin ich mir noch mehr unsicher als bei den oben, aber ich glaub das ist richtig so:

also was ist die Menge ? Sie enthält ist jedenfalls, weil vollständig, die 3 selbst, den nächsten Punkt neben der 3 Richtung 0 und den nächsten Punkt neben der 3 in Richtung unendlich.
Ganz vorsichtig: jedenfalls das größe Element in der Menge und das kleinste Element in . Wie ich das richtig aufschreibe... kommt mir grad nicht so recht in den Sinn auf die Schnelle. Irgendwie in der Art für alle

dann ist 3 ein innerer Punkt von und also

.

So in der Art?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Der Abschluss von {3} ist natürlich {3} selber. Und dein offener Kern des Abschlusses am Ende ist auch nicht richtig.
schmouk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass der Abschluss von {3} = {3} ist, leuchtet mir letztlich ein.

Aber jetzt bin ich durch den anderen Thread in Zweifel über das Innere von {3} geraten.

Sei also .

Dann ist 3 innerer Punkt in {3} wenn

also muss es ein Epsilon>0 geben, so dass d(x,3) kleiner/gleich epsilon ist (für x aus IR^n). Dann ist doch nicht ausgeschlossen, dass x=3 ist. Und dann wäre d(3,3)=0<epsilon und also . Oder kann/muss ich den Fall doch rausnehmen, weil sonst jeder Punkt grundsätzlich ein innerer wäre?

Vielleicht ist auch einfach zu spät :/

EDIT: Aaah, das Zauberwort ist "offene umgebung"

Zitat:
Ein Punkt x einer Menge M ist ein innerer Punkt von M, falls es eine offene Umgebung des Punktes gibt, die vollständig in M liegt.


B(x,0) ist keine offene Umgebung.

Also ist {3}°={}
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von schmouk
Also ist {3}°={}


Richtig.
 
 
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