Kreisfunktionen

31.05.2009, 16:54

matheIdi

hier komme ich überhaupt nicht zurecht unglücklich

$\begin{eqnarray*} y= \pm \sqrt{36-(x+2)²} -3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y= \pm \sqrt{16-(x-3)²} +2 \end{eqnarray*}$

kommt auch in der Arbeit vor gehört zu den Kreisfunktionen , da habe ich immer Probleme was ich zusammenfassen darf und was nicht

31.05.2009, 17:29

mYthos

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Bitte: Neue Frage --> Neues Thema, nicht immer weiter hier anhängen!

Was soll mit diesen Funktionen* nun geschehen? Hellsehen und raten wollen wir noch nicht, also solltest du sagen, was das Problem hier ist bzw. eine Idee oder Ansatz geben.

*** abgetrennt ***

*
Übrigens: Kreisfunktionen heissen diese nicht (mit Kreisfunktionen bezeichnet man Winkelfunktionen wie sin(x), cos(x), ... .

mY+

31.05.2009, 18:26

matheIdi

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also ich hab mir folgendes gedacht :
zuerst habe ich es gleichgesetzt und +3 genommen
$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{16-(x-3)²} +2=\pm \sqrt{36-(x+2)²} -3 \Rightarrow +3 \end{eqnarray*}$

danach habe ich es quadriert damit die wurzel weg ist

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{16-(x-3)²} +5=\pm \sqrt{36-(x+2)²} \Rightarrow \left(...\right) ² \end{eqnarray*}$

so doch irgendwie geht es ab dem punkt bergab unglücklich

-.-

31.05.2009, 19:10

system-agent

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Die Frage ist doch, was willst du eigentlich tun?

31.05.2009, 19:36

matheIdi

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ich will das da oben ausgerechnet haben bzw hilfe bekommen unglücklich

31.05.2009, 20:50

system-agent

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Bei hingeklatschten Termen kann man nichts ausrechnen unglücklich

Ich rate jetzt mal, dass du die Lösungen der Gleichung
$\begin{eqnarray*} \sqrt{36-(x+2)^2}-3=\sqrt{16-(x-3)^2}+2 \end{eqnarray*}$
bestimmen willst.
Die Gleichung ist äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} \sqrt{36-(x+2)^2}-\sqrt{16-(x-3)^2}=5 \end{eqnarray*}$

Nun beide Seiten quadrieren [Achtung, keine Äquivalenzumformung ! -> Probe machen am Schluss !] liefert
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{36-(x+2)^2}-\sqrt{16-(x-3)^2})^2=25 \end{eqnarray*}$
usw...

Edit: vorher stand in der letzten Zeile
$\begin{eqnarray*} 36-(x+2)^2-16-(x-3)^2=25 \end{eqnarray*}$
was natürlich falsch ist.

31.05.2009, 21:15

matheIdi

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wie kommst du von
$\begin{eqnarray*} \sqrt{36-(x+2)^2}-3=\sqrt{16-(x-3)^2}+2 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt{36-(x+2)^2}-\sqrt{16-(x-3)^2}=5 \end{eqnarray*}$

kannst du mir das mit dem äquivalent vllt. erklären unglücklich

31.05.2009, 21:23

system-agent

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Äquivalenzumfomungen sind solche Dinge die man mit einer Gleichung tun kann, ohne dass sich die Lösungen der Gleichungen ändern, siehe zb. hier.
Hat man eine Äquivalenzumformung gemacht, bezeichnet man die beiden "Versionen" [d.h. die Gleichung vor und nach der Umformung] als äquivalent.

Was ich da gemacht habe? Zuerst die Gleichung mit 3 addiert und dann die grosse Wurzel der rechten Seite subtrahiert.

Edit:
Ich habe noch einen bösen Fehler in meinem letzten Post beim quadrieren:
Es muss natürlich
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{36-(x+2)^2}-\sqrt{16-(x-3)^2})^2=25 \end{eqnarray*}$
heissen; nun die binomischen Formeln usw usw.

31.05.2009, 21:46

matheIdi

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aber wie hast du erkannt das es die gleiche lösung ergibt also äquivalent zueinander ist ? Ich will es auch so schnell erkennen können und so lösen können ! Ist das denn der einzige weg zum ziel ?

31.05.2009, 21:56

system-agent

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Addition und Subtraktion sowie Multiplikationen mit Zahlen die nicht Null sind sind eben Äquivalenzumformungen, steht auch in dem Wikipedialink.

31.05.2009, 22:07

matheIdi

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gibt es denn noch einen 2. rechenweg zur lösung ohne die äquivalenz umformung ? weil ich glaube in der arbeit würde ich es nicht anwenden können .

31.05.2009, 22:13

system-agent

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Ich weiss sonst nicht wie man das lösen kann. Aber Äquivalenzumformungen müsstet ihr schliesslich schon lange und intensiv behandelt haben, denn das ist genau das Verfahren um eine Gleichung zu lösen [ob dabei das Wort "Äquivalenzumformung" gefallen ist kann ich dir natürlich nicht sagen].

31.05.2009, 22:39

matheIdi

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okey dann versuche ich ejtzt mal das zu verstehen.

Also da steht das man nur umformen kann wenn es nicht 0 wird . Das ist eine sache die ich nicht verstehen.

31.05.2009, 23:01

Leopold

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So ganz klar ist eigentlich nicht, was die Aufgabe ist. Geht es darum, die Schnittmenge der beiden Kreise zu bestimmen? Dann würde ich nicht mit Wurzeln arbeiten. Wenn man in der ersten Kreisgleichung auf beiden Seiten 3 addiert, dann quadriert und ordnet, findet man

$\begin{eqnarray*} k_1: \ \ (x+2)^2 + (y+3)^2 = 36 \end{eqnarray*}$

Das ist ein Kreis um $\begin{eqnarray*} M_1 (-2|-3) \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} r_1 = 6 \end{eqnarray*}$ .

Und entsprechend beim zweiten Kreis:

$\begin{eqnarray*} k_2: \ \ (x-3)^2 + (y-2)^2 = 16 \end{eqnarray*}$

Das ist ein Kreis um $\begin{eqnarray*} M_2 (3|2) \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} r_2 = 4 \end{eqnarray*}$ .

Üblicherweise geht man zur Schnittpunktbestimmung so vor: Man quadriert die linken Seiten aus und subtrahiert die Gleichungen voneinander. Dabei fallen die quadratischen Terme weg. Es bleibt also eine lineare Gleichung übrig, die von den Schnittpunkten der Kreise, sofern vorhanden, gelöst wird. Es handelt sich somit um die Gleichung für die Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreise (die sogenannte Chordale). Jetzt ist das Schnittproblem Kreis-Kreis auf das Schnittproblem Kreis-Gerade zurückgeführt. Man löst die Geradengleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf und setzt das in eine der beiden Kreisgleichungen ein. So erhält man eine quadratische Gleichung in einer Variablen. Deren Lösungen werden in die Geradengleichung eingesetzt, um die andere Koordinate der Schnittpunkte zu berechnen.
Und bis auf das Lösen der quadratischen Gleichung ist die ganze Rechnung wurzelfrei.

01.06.2009, 01:41

matheIdi

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wir sollten die schnitt punke berechnen steht in der aufgabe dazu muss man die beiden sachen gleichsetzen und am ende kommt x = ??? raus leider hab ich es vergessen von der tafel abzuschreiben und hab deswegen kein ergebnis und keinen richtigen rechenweg. Also wer mir das vorrechnen könnte wäre sehr nice und zu jedem schritt eine erklärung unglücklich

Schon in 3 tagen die arbeit

01.06.2009, 01:42

matheIdi

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Zitat:

Original von Leopold
So ganz klar ist eigentlich nicht, was die Aufgabe ist. Geht es darum, die Schnittmenge der beiden Kreise zu bestimmen? Dann würde ich nicht mit Wurzeln arbeiten. Wenn man in der ersten Kreisgleichung auf beiden Seiten 3 addiert, dann quadriert und ordnet, findet man

$\begin{eqnarray*} k_1: \ \ (x+2)^2 + (y+3)^2 = 36 \end{eqnarray*}$

Das ist ein Kreis um $\begin{eqnarray*} M_1 (-2|-3) \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} r_1 = 6 \end{eqnarray*}$ .

Und entsprechend beim zweiten Kreis:

$\begin{eqnarray*} k_2: \ \ (x-3)^2 + (y-2)^2 = 16 \end{eqnarray*}$

Das ist ein Kreis um $\begin{eqnarray*} M_2 (3|2) \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} r_2 = 4 \end{eqnarray*}$ .

Üblicherweise geht man zur Schnittpunktbestimmung so vor: Man quadriert die linken Seiten aus und subtrahiert die Gleichungen voneinander. Dabei fallen die quadratischen Terme weg. Es bleibt also eine lineare Gleichung übrig, die von den Schnittpunkten der Kreise, sofern vorhanden, gelöst wird. Es handelt sich somit um die Gleichung für die Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreise (die sogenannte Chordale). Jetzt ist das Schnittproblem Kreis-Kreis auf das Schnittproblem Kreis-Gerade zurückgeführt. Man löst die Geradengleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf und setzt das in eine der beiden Kreisgleichungen ein. So erhält man eine quadratische Gleichung in einer Variablen. Deren Lösungen werden in die Geradengleichung eingesetzt, um die andere Koordinate der Schnittpunkte zu berechnen.
Und bis auf das Lösen der quadratischen Gleichung ist die ganze Rechnung wurzelfrei.

Genau ! nur kp wie ich rechnen soll

01.06.2009, 09:31

Leopold

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Für dich zur Kontrolle: Die Gleichung der Chordalen ist $\begin{eqnarray*} x + y = 2 \end{eqnarray*}$ . Die Schnittpunkte sind

$\begin{eqnarray*} S_1 \left( - \frac{1}{2} \left( \sqrt{23} - 3 \right) \, , \, \frac{1}{2} \left( \sqrt{23} + 1 \right) \right) \, , \ \ S_2 \left( \frac{1}{2} \left( \sqrt{23} + 3 \right) \, , \, - \frac{1}{2} \left( \sqrt{23} - 1 \right) \right) \end{eqnarray*}$

[attach]10680[/attach]

01.06.2009, 10:58

matheIdi

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kann mir den keiner die aufgabe bitte vorrechen udn jeden schritt versuchen zu erklären sonst komme ich hier nicht weiter bitte unglücklich

01.06.2009, 11:53

Leopold

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Zitat:

Original von matheIdi

Zitat:

Original von Leopold
...
Üblicherweise geht man zur Schnittpunktbestimmung so vor: Man quadriert die linken Seiten aus und subtrahiert die Gleichungen voneinander. Dabei fallen die quadratischen Terme weg. Es bleibt also eine lineare Gleichung übrig, die von den Schnittpunkten der Kreise, sofern vorhanden, gelöst wird. Es handelt sich somit um die Gleichung für die Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreise (die sogenannte Chordale). Jetzt ist das Schnittproblem Kreis-Kreis auf das Schnittproblem Kreis-Gerade zurückgeführt. Man löst die Geradengleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auf und setzt das in eine der beiden Kreisgleichungen ein. So erhält man eine quadratische Gleichung in einer Variablen. Deren Lösungen werden in die Geradengleichung eingesetzt, um die andere Koordinate der Schnittpunkte zu berechnen.
...

Dabei stehen die drei Schritte genau da. Man quadriert die linken Seiten aus:

$\begin{eqnarray*} k_1: \ \ x^2 + 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 36 \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2 + y^2 + 4x + 6y = 23 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_2: \ \ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y + 4 = 16 \ \ \Leftrightarrow \ \ x^2 + y^2 -6x - 4y = 3 \end{eqnarray*}$

Und jetzt die Gleichungen voneinander subtrahieren.
Tue einfach, was da steht. Und entwickle einmal etwas mehr Selbstinitiative.

01.06.2009, 13:13

matheIdi

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so habe ich es gerechnet :

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{16-(x-3)²} +2=\pm \sqrt{36-(x+2)²} -3 \Rightarrow +3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{16-(x-3)²} +5=\pm \sqrt{36-(x+2)²} \Rightarrow \left(...\right) ² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16-(x-3)²+25=36-(x+2)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16-x²+6x-9+25=36-x²-4x-4 \end{eqnarray*}$

ab da ist mein problem wie soll ich das zusammenfassen oder ist es schon falsch ?

01.06.2009, 14:37

Gualtiero

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@matheIdi
Offensichtlich hast Du die hilfreichen Beiträge von Leopold nicht gelesen. Denn wieso beginnst Du wieder mit den Wurzelausdrücken, die Dich nicht weiterbringen?
Mach das, was er sagt, nämlich die zwei Kreisgleichungen voneinander subtrahieren.

01.06.2009, 14:43

matheIdi

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe das so gemacht weil wir das hier an der schule ( gymnasium 9. Klasse ) so machen. Weil das was leopold mir versucht hat zu erklären verstehe ich nicht ganz. Was heißt wuzel subtrahieren ? und wann kann man das immer machen ?

01.06.2009, 14:57

Gualtiero

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Ich hätte Dir gerne geholfen, Leopolds Lösung umzusetzen, aber wenn Ihr diese Dinge noch nicht hattet, kann ich Dir nicht helfen. Denn noch deutlicher kann man es nicht erklären.
Du sollst nicht "wuzel" subtrahieren, sondern die beiden Gleichungen, wie sie Leopold umgeformt hat.
Ich kann mir nicht vorstellen, dass man mit Deinem Ansatz zu einer Lösung kommt. Hast Du dafür ein Beispiel aus der Schule, wo das funktioniert hat?
Quadratische Gleichungen hattet Ihr aber schon, oder?

01.06.2009, 16:14

matheIdi

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also es ist so wenn man es auf dem weg macht wie ich dann ist die gleichung irgendwann so das eine quadratische ergänzung möglich unglücklich

Kann denn jemand mir nach leopolds art schritt für schritt rechnen ?

01.06.2009, 16:47

Leopold

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Ich finde, daß mein Ansatz der rechentechnisch einfachste ist. Aber es kann schon sein, daß er dir nicht hilft, wenn ihr das in der Schule noch nicht hattet. Ein Vorschlag: Du schreibst uns hier einmal die Musterlösung eines Beispiels aus deinem Unterricht vollständig (!) hin. Nimm ein einfaches Beispiel. Dann sehen wir, wie ihr vorgeht, und können unsere Hilfe danach ausrichten.

01.06.2009, 17:19

matheIdi

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$\begin{eqnarray*} Kreis : M: (2/1) R : 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Gerade = y=2x y=\pm \sqrt{4²-(x-2)²} +1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x=\sqrt{4²-(x-2)²} +1 \Rightarrow -1 2x-1=\sqrt{4²-(x-2)²} \Rightarrow \left\{ ...\right\} ² (2x-1)²=4²-(x-2)² 4x²-4x+1=16-(x²-4x+4) 4x²-4x+1=16-x²+4x-4 5x²-8x-11=0 \Rightarrow :5 x²-1,6x-2,2=0 x²-1,6x+0,8²-0,8²-2,2=0 (x-0,8)²-2,84=0 \Rightarrow +2,84 (x-0,8)²=2,84 \Rightarrow \sqrt{x} x-0,8=\pm 1,69 \Rightarrow +0,8 \end{eqnarray*}$

01.06.2009, 18:19

matheIdi

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so haben wir alle aufgabengerechnet traurig

01.06.2009, 23:03

Gualtiero

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Bei diesem Beispiel ist mir Eure Berechnungsmethode klar. Es ist auch leichter, da es um den Schnitt einer Geraden mit einem Kreis geht.
Die folgende Gleichung drückt das y der Schnittpunkte aus (rot in der Zeichnung):

$\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{4^2-(x-2)^2} +1 \end{eqnarray*}$

Das kann man mit y = 2 * x gleichsetzen und leicht auflösen, weil man nur eine Wurzel hat.

[attach]10689[/attach]

Aber bei Deiner eigentlichen Aufgabe, wo es um einen Schnitt zweier Kreise geht, komme ich jedenfalls mit dieser Methode nicht weiter.

02.06.2009, 10:30

matheIdi

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oh okey+
ich bitte dich leopold oder einen anderen könnt ihr mir bitte nach leopolds art, diese Aufgabe lösen für mich unglücklich

Ich schreibe schon übermorgen die arbeit bitte ic kann es nicht alleine bitte leopold

02.06.2009, 11:20

Leopold

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Ist dir dieser erste Schritt (siehe oben mein Beitrag) klar? Wenn nicht, nachfragen.
Jetzt werden die Gleichungen voneinander subtrahiert. Dabei fallen die quadratischen Glieder weg:

$\begin{eqnarray*} 4x - (-6x) + 6y - (-4y) = 23 - 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10x + 10y = 20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \ \ x +y = 2 \end{eqnarray*}$

Das ist nun die Gleichung der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , die durch die Schnittpunkte der beiden Kreise geht (siehe meine Zeichnung).
Um jetzt die Schnittpunkte der Kreise zu berechnen, kannst du also genau so gut die Schnittpunkte von dieser Geraden mit einem der beiden Kreise berechnen.
Und entweder machst du das nach meinem Vorschlag (Gleichung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ auflösen und in die Gleichung von $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ einsetzen,
dann quadratische Gleichung in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lösen usw.) oder du kannst es so machen,
wie ihr das bisher schon gerechnet habt:

$\begin{eqnarray*} y = 2 - x \end{eqnarray*}$ (Geradengleichung nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufgelöst)

Gleichsetzen mit Term der Kreisfunktion (du kannst auch die andere Kreisfunktion nehmen):

$\begin{eqnarray*} 2 - x = \pm \sqrt{36 - (x+2)^2} - 3 \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du rechnen wie in der Schule.

02.06.2009, 19:59

matheIdi

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$\begin{eqnarray*} (5-x)²=\pm \sqrt{36-(x+2)²} 25-10x+x²=36-x²-4x+4 \Rightarrow -4 + 10x 21+x²=36-x² \end{eqnarray*}$

scheisse wo liegt mein fehler schon wieder -.-

02.06.2009, 22:04

Gualtiero

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Zitat:

scheisse wo liegt mein fehler schon wieder -.-

Schööön sprechen! Lehrer

Du hast einen Vorzeichenfehler gemacht, der Ausdruck unter der Wurzel lautet:

$\begin{eqnarray*} 36-x^2-4x-4 \end{eqnarray*}$

Rundes Ergebnis kommt aber keines haraus.

03.06.2009, 08:20

matheIdi

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sry wenn es jetzt blöd klingt aber ich meine das wäre eine Minus klammer und deswegen werden die zeichen umgedreht, dass haben wir mal in der schule gelernt.

achja und ich habe die rechnung in meinem heft wiedergefunden und wir haben es auch ganz anders gerechnet als ihr und sind am ende auf das ergebnis :

$\begin{eqnarray*} x = 1,31 \end{eqnarray*}$ gekommen ist das richtig ? Kommt man mit leopolds rechnung am ende auch zu dem ergebnis ?

03.06.2009, 13:54

Gualtiero

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Zitat:

aber ich meine das wäre eine Minus klammer und deswegen werden die zeichen umgedreht,

Das ist schon richtig. Aber warum drehst Du dann nicht alle Vorzeichen in der Klammer um?

$\begin{eqnarray*} (5-x)²=\pm \sqrt{36-(x+2)²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25-10x+x²=36-x²-4x+4 \end{eqnarray*}$

Vergleiche Deine zweite Zeile mit dem, was ich Dir geschrieben habe.

Zitat:

Original von Gualtiero
Du hast einen Vorzeichenfehler gemacht, der Ausdruck unter der Wurzel lautet:

$\begin{eqnarray*} 36-x^2-4x-4 \end{eqnarray*}$

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