ganzzahlige Lösung eines Gleichungssystems (Zahlentheorie)

31.05.2009, 21:53

Pejosh

ganzzahlige Lösung eines Gleichungssystems (Zahlentheorie)

Die Aufgabe ist eigentlich recht simpel, wenn ich wüsste, was genau verlangt ist.

Sie lautet:

Geben Sie alle $\begin{eqnarray*} e,f\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ an, so dass

$\begin{eqnarray*} -2x-4y+4z=e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x+6y+2z=f \end{eqnarray*}$

ganzzahlige Lösungen $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ besitzt.

Den Gleichungen ist ja bereits anzusehen, dass $\begin{eqnarray*} 2 teilt e,f \end{eqnarray*}$ . Ich kann das System auch ein wenig umformen und erhalte die Beziehung

$\begin{eqnarray*} y+3z=\frac{e+f}{2} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist aber, dass ich nicht weiß, ob ein genaues Tupel angegeben werden soll. Ich meine, viel weiter als die Aussage, dass beide durch 2 teilbar sein müssen, damit die Lösung ganzzahlig ist, komme ich nicht. Es steht ja, dass man $\begin{eqnarray*} e,f\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ angeben soll und nicht $\begin{eqnarray*} (e,f)\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Ich würd dann also aus der Beziehung ableiten, dass

$\begin{eqnarray*} e=2k-f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gelten muss. Aber ist DAS gesucht?

Vielen Dank für jede Hilfestellung. Manchmal sind mir die Aufgabenstellungen einfach zu undurchsichtig. verwirrt

01.06.2009, 10:00

Huggy

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RE: ganzzahlige Lösung eines Gleichungssystems (Zahlentheorie)

Zitat:

Original von Pejosh
Ich meine, viel weiter als die Aussage, dass beide durch 2 teilbar sein müssen, damit die Lösung ganzzahlig ist, komme ich nicht.

Das ist erst mal nur eine notwendige Bedingung. Ist sie auch hinreichend? Das musst herausfinden.

01.06.2009, 16:36

Pejosh

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Ich glaube, ich steh auf dem Strumpf. Wenn $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} e,f \end{eqnarray*}$ , dann folgt für mich, dass $\begin{eqnarray*} (x,y,z)\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , denn dann

$\begin{eqnarray*} -x-2y+2z=k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+3y+z=l \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} k,l \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Und da ich ja kein Tupel suche, kann ich doch $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ als Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ wählen, eine ganzzahlige Lösung $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ lässt sich dann auf jedenfall finden, da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Faktor $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ hat. Und dann ist doch auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

Das geht natürlich nicht, wenn ich vor der Lösung das f auch angeben muss, aber dann muss doch nur $\begin{eqnarray*} f=2m-e \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gelten. verwirrt

01.06.2009, 16:53

Huggy

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Zitat:

Original von Pejosh
... eine ganzzahlige Lösung $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ lässt sich dann auf jedenfall finden, da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ den Faktor $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ hat.

Wieso folgt das daraus?

01.06.2009, 17:45

Pejosh

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Zitat:

Original von Huggy

Zitat:

Wieso folgt das daraus?

Ähm, allein mit dem $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ lässt sich jedes $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ erreichen, sodass $\begin{eqnarray*} y,z \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein müssen. Weiß nicht, ob du mir folgen kannst. Kann mich grad nicht klar ausdrücken. unglücklich

01.06.2009, 19:51

Huggy

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Jetzt verstehe ich deinen Gedanken. Aber er hat ein dickes Loch! Wenn du y = z = 0 setzt, kannst du natürlich mit x = -k die erste Gleichung erfüllen. Dann folgt aber mit der zweiten Gleichung l = - k. Du kannst also l nicht mehr unabhängig von k wählen. Das wäre eine starke Einschränkung der zulässigen Paare (k, l).

Tatsächlich haben die Gleichungen für beliebige ganzzahlige Paare (k, l) ganzzahlige Lösungen. Das kann man mit einer Idee ähnlich deiner beweisen.

01.06.2009, 20:59

Pejosh

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Tja, bleibt nur die Frage welche Idee das ist. Ich bin bei dieser Aufgabe zu eingefahren und denke immer in die gleiche Richtung. traurig

Ich könnte natürlich wie in der Schule einfach die Lösungmenge bestimmen. Aber ich soll ja nicht aus $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (e,f) \end{eqnarray*}$ folgern, sondern umgekehrt, oder sehe ich das falsch?

01.06.2009, 21:16

Huggy

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Es genügt ja zu zeigen, dass die Gleichungen mit k und l für beliebige ganzzahlige Paare (k, l) eine ganzzahlige Lösung (x, y, z) haben. Statt y und z Null zu setzen, wie du es getan hast, setze nur z = 0. Dann kannst du x und y als Funktion von k und l ausrechnen. Und du wirst sehen, beide sind ganzzahlig, wenn k und l ganzzahlig sind.

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