Polynom basis im Vektorraum |
| 01.06.2009, 12:25 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Polynom basis im Vektorraum Ich versteh folgende aufgabe nicht, generell hab ich Probleme mit Polynomen, da ich einfach keine ahnung habe, was und wie ich bei Polynome vorgehen soll. Wir betrachten die Menge der Polynome: (a) zeigen Sie, dass die Menge V=(x^0,x^1,..x^n) ein Basis des Vektorraumes P ist. b) Durch phi(p) = p' wird eine lineare Abbildung phi: P-->P definiert. Bestimmen sie die Abbildungsmatrix von phi. Bitte helft mir..ich möchte nicht, dass ihr mir die Aufgabe löst, sondern mich auf den Weg zur Lösung begleitet. |
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| 01.06.2009, 12:35 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fang doch einmal bei der (a) einfach an. Was musst du zeigen? Schreib das doch einmal auf! |
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| 01.06.2009, 12:38 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich muss zeigen, dass die x-elemente eine Basis des Vektorraumes P sind. eine basis ist eine kleinstmögliche anzahl von lin. unabhängigen vektoren, mit denen man jeden punkt im Vektorraum aufspannen kann. Ich hab aber einfach keine ahnung, wie ich an solchen aufgaben vorgehen kann..Gauß-Algorithmus funktioniert ja nicht oder? |
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| 01.06.2009, 12:46 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie kommst du den jetzt auf den Gauß-Algo?! Okay ein minimales Erzeugendensystem wollen wir also zeigen. Fang doch einfach beim einfacheren an: Warum kann jeder Punkt der Vektorraums als Linearkombination geschrieben werden? |
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| 01.06.2009, 12:59 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
jeder punkt im vektorraum kann durch eine linearkombination der basisvektoren aufgespannt werden. eine typische basis im r^3 wäre ja 1 0 0 0 1 0 0 0 1 durch eine Kombination aus dieser 3Spaltvektoren könnte man jeden Punkt im r^3 beschreiben. Aber dies auf ein Polynom zu übertragen, hab ich kA |
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| 01.06.2009, 13:17 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast leider eine falsche Vorstellung davor was ein Vektorraum ist. Es muss nicht unbedingt etwas wie sein! Ich weiß gar nicht was ich noch schreiben soll, das was man zeigen soll steht eigentlich bereits da. Wie sieht ein allgemeines Polynom denn aus? Wie sieht eine Linearkombination aus der Menge V denn aus? |
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| 01.06.2009, 13:30 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ein Vektorraum ist doch einfach ein Raum in der sozusagen "punkte" drin liegen. Diese Punkte, die in dem Vektorraum liegen, kann man mit einer kombination von Basisvektoren erreichen. die spaltenvektoren der matrix sollten eigentlich bloß ein bsp sein, wie eine basis aussehen könnte. ein allgemienes polynom sieht, denk ich, so aus: ax+a2x^2+a3x^3+a4x^4 ...anx^n a sind reele zahlen und bei jeder stufe des polynoms kommt sozusagen ein x dazu..aber ich hab keine ahnung, ob das deine frage richtig beantwortet. |
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| 01.06.2009, 13:31 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja der konstante Term fehlt noch. Ein Polynom hat also die Gestalt . Wie sieht jetzt eine Linearkombination aus aus? |
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| 01.06.2009, 13:42 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich hab ehrlich gesagt, keine ahnung..möglicherweise: x^n+1? |
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| 01.06.2009, 13:54 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lese doch einmal in deinem Skript nach! Wie sieht allgemein eine Linearkombination aus? Was musst du einsetzen in dem speziellen Fall? |
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| 01.06.2009, 14:19 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
wir haben kein skript. ahh, du meinst einen koeffizienten.also wie beim polynom das alpha..sozusagen ist eine basis des polynoms, die "funktion" selbst, nur ohne das alpha(ohne koeffezient). |
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| 01.06.2009, 14:27 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ihr kein Skript habt dann eben dein Aufschrieb. Falls du es partout nicht findest geht auch http://de.wikipedia.org/wiki/Linearkombination Dein letzter Satz ist vollkommen unverständlich. |
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| 01.06.2009, 14:44 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
eine linearkombination von der basis a1,a2,a3 ist mit einem koeffizienten davor allgemein geschrieben, in diesem fall alpha: wenn man das jetzt auf die aufgabe überträgt, wären die basen, die menge aller polynome ohne den koeffizienten alpha oder? sorry, das ich deine nerven total strapaziere. Vieles versteh ich, aber kaum fällt das wort polynome, bin ich ein totaler versager 
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| 01.06.2009, 14:49 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein das ist keine Linearkombination. Hast du dir den Link durchgelesen? Da ist nichts von Vektorschreibweise. Denk dir das Wort Polynome einfach mal weg, ich will nur allgemein wissen was eine Linearkombination ist... |
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| 01.06.2009, 14:57 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
EIne linearkomination ist einfach gesagt, die summe der vielfachen eines elementes |
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| 01.06.2009, 14:59 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay und jetzt als Formel, wenn es dir nicht schnell genug ist kannst du schon die spezielle Basis V benutzen |
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| 01.06.2009, 15:07 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
allgemein geschrieben: x=a + ax1 + a2x2 + a3x3 + anxn und jetzt anhand der speziellen basis V: ax^1+ a2x^2 +a3x^3 + anx^n oder? |
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| 01.06.2009, 15:35 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das x^0 hast du wieder vergessen. Fällt dir nicht etwas auf? Vergleiche die Linearkombinationen aus der Menge V und das allgemeine Polynom. |
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| 01.06.2009, 16:14 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
oh ja, sorry
das sind die selben, nur das bei der Menge V die funktion expontential ist. könnte man nicht, a ausklammern und dann hätte ich doch gezeigt, dass x^0+x^1+x^2+x^3+x^n eine basis des vektorraums ist oder? vielen vielen vielen dank für deine geduld 
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| 01.06.2009, 16:28 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was meinst du mit Exponential? Ein bel. Polynom kleiner gleich n-ten Grades hat die Form und das ist gerade eine Linearkombination aus V! Damit haben wir also Erzeugendensystem. Was bedeutet jetzt linear unabhängig? Was muss man da zeigen? |
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| 01.06.2009, 19:22 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
sorry, das ich erst jetzt antworte, allerdings gabs ein notfall in der familie... linear unabhängig beduetet, wenn sich nur der nullvektor durch eine linearkombination der jeweiligen vektoren erzeugen lässt. könntest du vllt. noch das beliebige polynom anders ausdrücken? ich kapier die schritte nach nicht |
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| 01.06.2009, 19:50 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
War ein LaTeX-Fehler von mir, hab ich jetzt korrigiert. Nein linear unabhängig bedeutet etwas anderes. Lese es doch noch einmal nach! |
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| 01.06.2009, 19:54 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
linear unabhängig bedeutet doch einfach, dass man z.b. vektor a nicht aus einer linearkombination von vektor b und/oder c bilden kann..das hab ich mir zumindest immer gedacht |
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| 01.06.2009, 20:16 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist zu ungenau. Du hast zwar ungefähr eine Vorstellung aber das reicht nicht. Das gilt für alle Aufgaben: Du wirst nur in der Lage sein sie zu bearbeiten wenn du dir die Begriffe klargemacht hast bzw. wenigstens kennst. Dazu hilft dir dein Vorlesungsmitschrieb oder wenn der dich verwirrt eben das Internet oder Literatur. |
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| 01.06.2009, 20:24 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
könntest du mir dann vllt. sagen, was wirklich lineare unabhängigkeit ist? hab eben bei wikipedia das durchgelesen und konnte auch nur das herausfiltern, was ich bereits schrieb
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| 01.06.2009, 21:12 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabh%C3%A4ngigkeit Der zweite Abschnitt im Unterpunkt Definition. In Formeln: sind linear unabhängig falls aus folgt dass |
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| 01.06.2009, 21:33 | Gotteshand | Auf diesen Beitrag antworten » |
die vektoren v0 bis vn sind linear unabhängig, wenn die summe der vielfachen der Menge nur durch die triviale Lösung=0 ergibt. daraus folgt, dass die koeffizienten alpha0 is alphan= 0 sein müssen. entschuldige, jedoch muss ich morgen ganz früh zur uni und würde mich hierbei für heute verabschieden, hoffe allerdings, dass wir morgen es weiterführen könnten, wenn es dir nicht allzu anstrengend mit mir ist. Wenn doch, kann ich es aber auch verstehen^^ So, gute Nacht und danke vielmals und hoffentlich bis morgen
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