Kombinatorik-Stichproben

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Soniya Auf diesen Beitrag antworten »
Kombinatorik-Stichproben
Person 1 wählt vier Spielsteine, die es in 6 verschiedenen Farben gibt, aus und ordnet sie ggf. an. Person 2 errät diese Spielsteine.
Wie viele Möglichkeiten der Auswahl bzw. Anordnung gibt es, wenn nach folgenden Regeln gespielt wird:

a)Jede Farbe nur einmal vorhanden, Reihenfolge festgelegt.
b)Jede Farbe nur einmal vorhanden, Reihenfolge beliebig.
c)Jede Farbe beliebig oft vorhanden, Reihenfolge festgelegt.
d)Jede Farbe beliebig oft vorhanden, Reihenfolge beliebig.

2 der Teilaufgaben glaube ich gelöst zu haben, bei den anderen brauche ich Hilfe...

a) 24*18*12*6

Stimmt das? Hab mir gedacht, dass nach jedem 'Zug' ja 6 Steine gleicher Farbe wegfallen...!?!?

b) ??? (siehe erstmal c...)

c) 24*24*24*24

Da k=4 und n=24 >>>24 hoch 4

Muss ich von diesem Ergebnis etwas abziehen, um b zu erhalten? Wenn ja, wie komme ich auf die Zahl, die ich abziehen muss...?

d) Keine Ahnung, nur glaube ich, diese Aufgabe lösen zu können, wenn ich weiß, wie b funktioniert, denn zugegeben:
Mich irritiert sehr, dass dort steht *Reihenfolge beliebig* ! Wie kann ich denn da die ganzen Kombinationen ausschließen?

Mir würden natürlich Ansätze reichen und ich bin logischerweise (wie es die Regeln besagen) bereit, selbst was zu tun...nur muss ich wissen wie Tränen
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

na, du hast dich mit den Aufgaben ja immerhin befasst! Das ist gut!

Allerdings hab ich da doch ein wenig Zweifel an deinen Lösungswegen :shock:

Ad a) Die Anzahl ist viel zu hoch! Irgendwie stimmt da deine Modellvorstellung nicht so richtig. Für den ersten Stein hast du doch 6 Möglichkeiten (1 Stein aus 6 Farben). Nach dieser Wahl hast du für den zweiten Stein noch 5 Möglichkeiten, denn eine Farbe ist ja nun nicht mehr erlaubt. Für den dritten Stein bleiben so noch 4 Möglichkeiten und für den letzten dann noch 3 Möglichkeiten. Was werden wir da wohl im Endeffekt erhalten? verwirrt

Ad b) Das ist doch erst mal die gleiche Aufgabe wie in a) Nur soll hier nun die Reihenfolge der gewählten Steine unerheblich sein. Die Möglichkeit rot-gelb-grün-blau und die Möglichkeit blau-gelb-rot-grün z.B. sollen nur einmal gezählt werden. Auf wie viele Weisen kannst du denn vier verschiedenfarbige Steine anordnen? Na, und durch diese Zahl dividierst du dann die Anzahl aller Möglichkeiten aus a) ... und schwups, schon ist auch diese Aufgabe gelöst.

Ad c) Das ist die einfachste Aufgabe ... hier hast du für den ersten Stein 6 Möglichkeiten, für den zweiten ebenfalls, genauso wie für den dritten und vierten.

Ad d) Das ist dann die schwierigste von den vier Aufgabe. Denn hier soll ja wie in Aufgabe b) die Reihenfolge der gewählten Steine unerheblich sein. Wieder ist die Basis die Lösungsmenge der vorangehenden Aufgabe c). Allerdings darf man diesmal die Anzahl nicht einfach dividieren! Denn beispielsweise hat die Möglichkeit rot-rot-rot-rot ja nur EINE Anordnung, während die Möglichkeit rot-rot-blau-gelb wesentlich mehr Anordnungen hat ... Aber auch dafür gibt es ein entsprechendes Urnenmodell (mit Zurücklegen, ohne Reihenfolge) ...

Na, mal sehen, wie weit du mit diesen Ratschlägen jetzt kommst! Big Laugh

Einen schönen Pfingstmontag!
Soniya Auf diesen Beitrag antworten »

Rate mal, wie ich auf diese komische 24 komme.... unglücklich Ich hab die Aufgabe so verstanden, dass es 4 Steine gibt (z.B. von 1-4) und diese dann nochmal in 6 Farben...sprich: 24 Steine!

Bin irgendwie mit der Zeile verrutscht....und glaub mir, ich hocke seit gestern Abend daran böse unglücklich

Vielen Dank, dass du dich mir erbarmt hast Freude FAZIT: BESSER LESEN Forum Kloppe

Ich meld mich dann wieder, wenn ich alle Ergebnisse hab...mal sehen, ob ich sie dann richtig habe...
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, dann mal frohes Schaffen! Big Laugh

Grüße
Soniya Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, danke.

ALSO...jetzt war's auch nicht so schwer...nur hätte ich eine klitzekleine Verständnisfrage zu b---

a) 6*5*4*3=360
b) Spontan hätte ich gesagt, dass man dann die 24 (4*3*2*1 Möglichkeiten, 4 Steine anzuordnen) von 360 abzieht....
Doch wieso dividiert man? verwirrt
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na super, dass du das hinbekommen hast. Die vier Aufgaben beschreiben nämlich jeweils ein Grundproblem der Kombinatorik.

Bei b) hast du jetzt richtig herausgefunden, dass die Grundmenge 360 ist. Und dass man 4 verschiedenfarbige Steine auf 24 Möglichkeiten anordnen kann.

Man kann also jede einzelne der 360 Möglichkeiten auf 24 Weisen anordnen. Und die verschiedenen Anordnungen sollen jeweils nur einmal gezählt werden. Die 24 Anordnungen der ersten Auswahl werden also einmal gezählt, die 24 Anordnungen der zweiten Auswahl werden erneut nur einmal gezählt usw. usw. Um nun die Anzahl der verschiedenen Anordnungen herauszufinden musst du doch 360 durch 24 dividieren!

Wenn du die Differenz bildest, dann subtrahierst du einen Faktor von seinem Produkt. Und das liefert kein stoachastisch sinnvolles Ergebnis. Big Laugh

Grüße
 
 
Soniya Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so! Ich danke dir vielmals Wink

Ich glaube, die Tatsache, dass ich damit Schwierigkeiten habe, ist darauf zurückzuführen, dass ich das alles noch nciht hatte.
Beispielsweise bei d.
ICh hab mir gestern bis 23:00 Uhr was dazu durchgelesen, eine Formel gefunden usw....klappt alles wunderbar. Und kenne jetzt fast alle 'Urnenmodell-Formeln'.

Nur: "Offiziell" (mir fällt kein besseres Wort ein) kenn ich das alles gar nicht.

Ich habe bei d jetzt einfach die Formel genommen und 126 raus. Aber ich habe keine Ahnung, wie ich die Aufgabe lösen soll, ohne eine Formel zu nehmen. Ich hab mir dann auch nochmal den Beweis der Formel (mit den ganzen Trennstrichen und Punkten usw.) durchgelesen und einigermaßen verstanden, nur bringt es mir nicht viel, wenn ich auf's Ergebnis kommen will, ohne diese nette Formel zu nutzen *seufz* unglücklich
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nur: "Offiziell" (mir fällt kein besseres Wort ein) kenn ich das alles gar nicht.


Ich verstehe schon, was du meinst: du hast ein ungutes Gefühl dabei, wenn du einfach eine Formel anwendest, ohne dass du ihre Herleitung wirklich verstanden hast.

Du hast die richtige Formel für die Aufgabe d) verwendet. Der Beweis dieser Formel ist tatsächlich nicht so ganz einfach nachzuvollziehen. Aber die Mühe lohnt sich: nur so wirst du verstehen, wie diese Formel "tickt". Vergleiche doch einfach mal die Formel für die beiden Urnenmodelle:

Aufgabe b) Aus n Objekten werden k Objekte gezogen, OHNE Zurücklegen und ohne Reihenfolge: Anzahl = (n über k)

Aufgabe d) Aus n Objekten werden k Objekte gezogen MIT Zurücklegen und ohne Reihenfolge: Anzahl = ((n + k - 1) über k)

Die beiden Formeln sind ja irgendwie recht ähnlich. Und tatsächlich beschreiben sie ja auch fast die gleichen Verhältnisse. Im ersten Fall müssen alle Steine aber verschiedene Farben haben. Im zweiten Fall können Farben auch mehrfach auftreten. Deshalb haben wir hier mehr Möglichkeiten als im ersten Fall.

Mathematisch kann man den zweiten Fall mit den Duplikaten aber auf den ersten Fall ohne Duplikate zurückführen. Man muss die Objekte einfach "auseinanderziehen", d.h. man muss zwischen jedes der k ausgewählten Objekte ein "Scheinobjekt" einfügen, dann sind sie auch alle verschieden. Und da man zwischen k Objekte eben k-1 Scheinobjekte einfügen kann wird aus "n" eben "n + k - 1".

Das ist jetzt natürlich noch kein richtiger Beweis - aber so kann man sich die sperrige Formel vielleicht ein wenig anschaulicher machen und besser merken.

Grüße
Soniya Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals für deine Geduld Augenzwinkern

Kann einer vielleicht noch überprüfen, ob diese richtig gelöst worden sind von mir....

10 Besucher sollen auf Zimmer aufgeteilt werden, wie viel Möglichkeiten gibt es....
a) Es gibt einen Raum mit 6 und einen mit 3 Betten >>9 über 3 bzw. 9 über 6=84
b) 2 Zimmer mit je 5 Betten>>>10 über 5=252

c)3 Räume mit je 3 Betten:

Richtig? Oder hab ich wieder irgendeinen Denkfehler???
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

zunächst mal die gute Nachricht: die Aufgabe b) ist m.E. wohl richtig gelöst.

Allein die Aufgaben a) und c) sind wenig anders gestrickt:

Zitat:
10 Besucher sollen auf Zimmer aufgeteilt werden, wie viel Möglichkeiten gibt es....

a) Es gibt einen Raum mit 6 und einen mit 3 Betten


Es sollte auffallen, dass einer der Besucher vermutlich auf der Parkbank übernachten muss! Es gibt nämlich 10 Personen und nur 9 Betten. Ich nehme an, dass alle naheliegenden Lösungsideen DOCH mit 9 Betten auszukommen entweder unpraktisch oder unmoralisch sind und deshalb von vornherein ausscheiden. Big Laugh

Also müssen wir doch zunächst mal einen Besucher auswählen, den das harte Los der Parkbank treffen wird. Die Anzahl der Möglichkeiten dafür ist sicherlich sehr leicht zu bestimmen.

Sodann werden wir aus den verbleibenden 9 Personen diejenigen 6 auswählen, die sich das 6er Zimmer teilen. Die Anzahl ist (9 über 6) wie du ganz richtig bemerkt hast. Die restlichen 3 Personen nehmen das 3er Zimmer. Die Anzahl der Möglichkeiten dafür ist 1.

Tja, und was machen wir jetzt wohl mit diesen drei Anzahlen? verwirrt

Und genauso geht das dann mit der Aufgabe c). Denn auch da fehlt ja ein Bett ...

Grüße

[edit] Bei der Lösung habe ich jetzt (ebenso wie du) stillschweigend vorausgesetzt, dass die Betten nicht unterschieden werden. Sonst müsste man die Lösung noch mit der Anzahl der unterschiedlichen Belegungsmöglichkeiten pro Zimmer multiplizieren. Aber ich glaube nicht, dass die Aufgabe so gemeint ist.
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