Integrieren und ableiten - Substituieren.

01.06.2009, 17:28

Canna

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Integrieren und ableiten - Substituieren.

Hallo allerseits.

Ich habe mich notgedrungen in den letzten Tagen mit dem Thema Integration mit dem Substitutions-Verfahren beschäftigt. Das Prinzip habe ich verstanden, jedoch stieß ich auf ein paar kleinere Probleme, die ich einfach nicht lösen kann. Ich bin für jede Hilfe dankbar!

: $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~1/u~dx \end{eqnarray*}$ ist = ln(u). Ist denn
: $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~1/x~dx \end{eqnarray*}$ also ln(x)? Oder hängt dies davon ab ob ich hinten du oder dx stehen habe?
Folgende Integrale kann ich auch nicht bestimmen. Gibt es für Brüche und Wurzeln eine besondere Regel?
- : $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~x/u~du \end{eqnarray*}$
- : $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~2/u~dx \end{eqnarray*}$ oder
- : $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~1/2~dx \end{eqnarray*}$ oder
- : $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~\sqrt{x}~dx \end{eqnarray*}$ oder
- : $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~1/5u~dx \end{eqnarray*}$

- Was ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{-x}{2} \end{eqnarray*}$ ?? Benutze ich die Quotientenregel?

- Einen konstanten Faktor darf man vor das Integral ziehen. Wann genau darf ich das, und wann nicht? Mache ich das immer? Ist das Ergebnis ein anderes, wenn ich das übersehe?

- In einer Aufgabe stieß ich gegen Ende auf folgende Gleichung: ln(1-cos[pi/2]) - ln(1-cos[pi/4]). cos1=0 dachte (auch wenn mein Taschenrechner was anderes sagt). Pi/4 müsste sowas wie 0.75 sein? In der Lösung heißt es für die 2. Klammer: ln(1-1/Wurzel2). Woher weiß man das?

So, das war eine ganze Menge. Ihr merkt schon, mir fehlt viel Grundwissen. Ich bin auch für jeden einzelnen Tip oder allgemeinen Hinweis dankbar!! Bitte nicht abschrecken lassen, auch jeder kleine Tip hilft mir!

VIELEN DANK für eure Zeit!!

Canna

01.06.2009, 18:28

Rare676

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zum ersten, dass ist falsch. 1/u ist lediglich eine konstante. Darum ist die Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{u} \cdot x+c \end{eqnarray*}$

Das erkennt man übrigens an dem dx - das heißt, das nach x integriert wird.

Beim 3. Integral kannst du einfach das x vor das Integral ziehen und dann erkennst du sicher ein bekanntes Integral.

Beim rest kannst du ja erstmal selber wieder vorschläge machen. Achte darauf wonach integriert wird und was konstanten sind...

03.06.2009, 18:58

Canna

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Danke für deine Antwort Rare676.

Lass mich das kurz noch mal zusammen fassen:
Das "du" bzw "dx" gibt mir also immer an, nach was ich integriere.
Als ich also sagte dass das Integral von 1/u dx = ln(u) ist, so war das nicht richtig, weil dx mir sagt dass nur x eine Variable ist und jeder andere Buchstabe wird dann nicht integriert, sondern als Konstante behandelt und einfach *x "geschrieben".
Ist das richtig so? Was ist wenn mir dx sagt ich soll nach x integrieren, aber es ist überhaupt kein x im Integral gegeben?

Wenn man also das gleiche Integral oben mit du gegeben hätte, dann wäre ln(u) richtig?

Das dritte Integral mit x vor das Integral gezogen wäre: x* $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~~\frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ ??

Natürlich könnte ich nun weiter Vorschläge für mögliche Lösungen machen, aber mir fehlt hier immer noch das grundsätzliche Verständnis:
- Wann verwende ich welche Methode (Konstante nach vorne ziehen, Substitution, Partielle Integration, ...)
- Was bedeutet es "nach x" oder "nach u" aufzulösen?

Ich danke dir und allen anderen die sich die Zeit nehmen. Ich muss das wirklich verstehen...

Canna

03.06.2009, 19:53

Rare676

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Zitat:

Lass mich das kurz noch mal zusammen fassen: Das "du" bzw "dx" gibt mir also immer an, nach was ich integriere. Als ich also sagte dass das Integral von 1/u dx = ln(u) ist, so war das nicht richtig, weil dx mir sagt dass nur x eine Variable ist und jeder andere Buchstabe wird dann nicht integriert, sondern als Konstante behandelt und einfach *x "geschrieben". Ist das richtig so?

Ja

Zitat:

Was ist wenn mir dx sagt ich soll nach x integrieren, aber es ist überhaupt kein x im Integral gegeben?

Dann musst die ganze zu integrierende Funktion als Konstante auffassen. Dafür gilt die bekannte Integrationsregel für rationale Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{a}{n+1} \cdot x^{n+1} \end{eqnarray*}$

In deinem Fall ist dein n=0 Augenzwinkern

Augenzwinkern

und a diese beliebige Konstante, die auch viel komplizierter aussehen könnte, aber ohne x eine Konstante bleibt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Wenn man also das gleiche Integral oben mit du gegeben hätte, dann wäre ln(u) richtig?

Richtig

Zitat:

Das dritte Integral mit x vor das Integral gezogen wäre: x* $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~~\frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ ??

nein, es wäre $\begin{eqnarray*} x \cdot \int_{b}^{a}~~\frac{1}{u}~du \end{eqnarray*}$

Und das zeigt dir dann wieder, wonach zu Integrieren ist. Und diese Aufgabe hast du ja kurz zuvor gelöst. Wenn du integriert hast, musst du dein Ergebnis also nur noch mit x multiplizieren. Bei der eigentlichen Integration spielt es aber keine Rolle, weil es eine Konstante ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

- Wann verwende ich welche Methode (Konstante nach vorne ziehen, Substitution, Partielle Integration, ...)

Konstante nach vorne ziehen geht immer dann, wenn da eine Konstante ist - und ist meistens auch hilfreich.
Bei der Frage nach Partieller Integration oder Substitution kommt es immer auf die Aufgabe an und es gibt kein Patentrezept. Mit mehr Übung kommt auch das Gefühl für sowas. Ansonsten hilft immer probieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

- Was bedeutet es "nach x" oder "nach u" aufzulösen?

Bisher musstest du das hier noch nie machen und ich weiß nicht, was du gerade damit meinst.

Zitat:

Ich danke dir und allen anderen die sich die Zeit nehmen. Ich muss das wirklich verstehen...

Ich geb mir Mühe dir das zu erklären, wie jeder andere das hier auch wird. Konnte ich dir jetzt erstmal klarer machen, wie es abläuft? Dann kannst du jetzt ja mal mit den anderen Aufgaben weitermachen und hier präsentieren. Bitte zitier jetzt nicht wieder meinen ganzen Text hier, sondern stell neue Fragen, wenn welche Anfallen, sonst verliert man zu leicht den Überblick.

Gutes Gelingen,

Rare

21.06.2009, 15:48

Canna

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Hallo!!

Endlich melde ich mich nach deinem hilfreichen Beitrag noch mal zu Wort.

Mittlerweile habe ich mich immer mal wieder mit Integralen beschäftigt und mein Hauptproblem ist wirklich zu wissen wie ich anfangen soll. Ich "sehe" einfach nicht, ob nun partielle Integration angebracht wäre oder vielleicht doch eher Substitution (Hier dann häufig noch das Problem: Was substituiere ich am schlausten?) oder wann kann ich es mit irgendwelchen Regeln umformen und einfach nach Regeln integrieren.

Kann man zu diesem Problem mit deiner Erfahrung etwas raten? Wie gehe ich am Besten ran wenn ich ein Integral vor mir habe und nicht genau weiß wie ich es lösen soll?

Jetzt zu deinem Beitrag:
Ich habe soweit alles verstanden.
Das dritte Integral wäre also integriert: x ln(u).

Eine wichtige Frage hätte ich gerade noch:
Konstanten nach vorne ziehen scheint immer eine gute Idee zu sein, wenn es möglich ist. Nun bin ich hier aber auf einen Beitrag gestoßen der mich verwirrt hat. Es ging um Substitution und aus dem "dx" wurde in dem Integral so ein "du". Nun wurde ein x vor das Integral gezogen, was ja nun auch legal war ("du" besagt ja jetzt dass alles außer u Konstanten sind).
Anscheinend war das aber nicht ganz ok. Dieses x hätte vorher auch substituiert werden müssen.
Ist das richtig so? Also wenn ich ein x² substituiere, dann mache ich aus jedem x das im Integral vorkommt ein Wurzel(x) BEVOR ich irgendwas mit diesem x mache? Und nach der Rücksubstitution mache ich dann was mit diesem Wurzel(x)?
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich...

"Was bedeutet es "nach x" oder "nach u" aufzulösen?"
Hier war ich offensichtlich etwas durcheinander. Die Frage sollte lauten:
Was bedeutet es "nach x" abzuleiten? Ich kannte bisher nur ableiten und integrieren und nun tauchten oft Sätze auf wie "nach u ableiten", "nach x integrieren" etc.
Heißt das dass man diejenige Variable "nach der" etwas gemacht wird als Variable behandelt (also stehen lässt) und alles andere als Kontanten die beim Integrieren mit "* x" versehen werden und beim ableiten wegfallen??

So, mit meinem neu gewonnen Wissen konnte ich alle Integrale aus meinem ersten Beitrag lösen. Ich habe sie mit einem Online-Inetegrator jeweils überprüft.
Ein Integral habe ich mir jedoch selbst gestellt, das ein weiteres Defizit verdeutlicht:
$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(\sqrt{x} + x^3 - 5)~dx \end{eqnarray*}$
x^3 und Wurzelx kann ich ja in 2 einzelne Integrale packen und diese addieren. Aber was ist mit der Konstanten -5? Ziehe ich dir vor BEIDE Integrale? Oder nur vor eins? Oder betrachte ich es auch ganz einzeln?

Außerdem habe ich stets Integrale ohne Grenzen betrachtet. Wenn ich ein Integral habe, bei dem u und auch x nach dem integrieren stehen bleiben, wo setzte ich die Grenzen (obere - untere) dann ein - für u oder für x? Sagt mir das auch das "dx"?

Und noch 1 Frage die aus meinem ersten Beitrag stehen geblieben ist:
In einer Substitutions-Aufgabe stieß ich gegen Ende auf folgende Gleichung: -ln[1- cos(pi/4)]. In der Lösung steht dann ln[1- 1/Wurzel2]. Woher kann ich wissen, dass cos(pi/4) = 1/Wurzel2 ist??

Ich danke euch allen die ihr das hier lest!

Canna

21.06.2009, 19:06

Rare676

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Zitat:

Original von Canna
Hallo!!

Endlich melde ich mich nach deinem hilfreichen Beitrag noch mal zu Wort.

Mittlerweile habe ich mich immer mal wieder mit Integralen beschäftigt und mein Hauptproblem ist wirklich zu wissen wie ich anfangen soll. Ich "sehe" einfach nicht, ob nun partielle Integration angebracht wäre oder vielleicht doch eher Substitution (Hier dann häufig noch das Problem: Was substituiere ich am schlausten?) oder wann kann ich es mit irgendwelchen Regeln umformen und einfach nach Regeln integrieren.

Kann man zu diesem Problem mit deiner Erfahrung etwas raten? Wie gehe ich am Besten ran wenn ich ein Integral vor mir habe und nicht genau weiß wie ich es lösen soll?

Da hilft nur Erfahrung und irgendwann vllt auch ein gutes Auge für das Problem. Der einzige Tipp, den man geben kann ist: Üben, üben, üben !

Zitat:

Jetzt zu deinem Beitrag: Ich habe soweit alles verstanden. Das dritte Integral wäre also integriert: x ln(u).

Bitte gewöhn dir an, dass du nicht einfach nur einen Term dahin klatscht, sondern eine Funktion. Ansonsten meinst du das richtige.

Zitat:

Eine wichtige Frage hätte ich gerade noch: Konstanten nach vorne ziehen scheint immer eine gute Idee zu sein, wenn es möglich ist. Nun bin ich hier aber auf einen Beitrag gestoßen der mich verwirrt hat. Es ging um Substitution und aus dem "dx" wurde in dem Integral so ein "du". Nun wurde ein x vor das Integral gezogen, was ja nun auch legal war ("du" besagt ja jetzt dass alles außer u Konstanten sind). Anscheinend war das aber nicht ganz ok. Dieses x hätte vorher auch substituiert werden müssen. Ist das richtig so? Also wenn ich ein x² substituiere, dann mache ich aus jedem x das im Integral vorkommt ein Wurzel(x) BEVOR ich irgendwas mit diesem x mache? Und nach der Rücksubstitution mache ich dann was mit diesem Wurzel(x)? Ich hoffe das war einigermaßen verständlich...

Das ganze Ding hier verstehe ich fast gar nicht- schon überhaupt nicht, wenn du noch irgendwelche Beispiele ohne Latex in den Satzbau einbaust. Strukturier deine Fragestellung doch bitte etwas.

In den ersten Zeilen hast du dich davon verwirren lassen, wonach integriert wird. In deinem Fall hier im Thread war es u - in dem Fall, den du darlegt war es whrsl x. Schreib ein konkretes Beispiel und wir klären das.

Zitat:

"Was bedeutet es "nach x" oder "nach u" aufzulösen?" Hier war ich offensichtlich etwas durcheinander. Die Frage sollte lauten: Was bedeutet es "nach x" abzuleiten? Ich kannte bisher nur ableiten und integrieren und nun tauchten oft Sätze auf wie "nach u ableiten", "nach x integrieren" etc. Heißt das dass man diejenige Variable "nach der" etwas gemacht wird als Variable behandelt (also stehen lässt) und alles andere als Kontanten die beim Integrieren mit "* x" versehen werden und beim ableiten wegfallen??

Nach x integrieren(ableiten) bedeutet, dass x die Variable ist und alles andere Konstanten.

Zitat:

So, mit meinem neu gewonnen Wissen konnte ich alle Integrale aus meinem ersten Beitrag lösen. Ich habe sie mit einem Online-Inetegrator jeweils überprüft. Ein Integral habe ich mir jedoch selbst gestellt, das ein weiteres Defizit verdeutlicht: $\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}~(\sqrt{x} + x^3 - 5)~dx \end{eqnarray*}$ x^3 und Wurzelx kann ich ja in 2 einzelne Integrale packen und diese addieren. Aber was ist mit der Konstanten -5? Ziehe ich dir vor BEIDE Integrale? Oder nur vor eins? Oder betrachte ich es auch ganz einzeln?

Du kannst einfach das Integral auseinander ziehen, und zwar 3 mal:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^3+\sqrt{x}-5~dx )=\int_{}^{}~x^3~dx +\int_{}^{}~\sqrt{x}~dx- \int_{}^{}~5~dx \end{eqnarray*}$

Wenn du dann lustig bist, kannst auch noch die 5 vor das letzte Integral ziehen und dann die Stammfunktion suchen. Daber normalerweise weiß man, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~5~dx=5x+C \end{eqnarray*}$

Zitat:

Außerdem habe ich stets Integrale ohne Grenzen betrachtet. Wenn ich ein Integral habe, bei dem u und auch x nach dem integrieren stehen bleiben, wo setzte ich die Grenzen (obere - untere) dann ein - für u oder für x? Sagt mir das auch das "dx"?

je nachdem wonach integriert wird, wird auch eingesetzt. Integration nach x fordert dann auch einsetzen für x!

Zitat:

Und noch 1 Frage die aus meinem ersten Beitrag stehen geblieben ist: In einer Substitutions-Aufgabe stieß ich gegen Ende auf folgende Gleichung: -ln[1- cos(pi/4)]. In der Lösung steht dann ln[1- 1/Wurzel2]. Woher kann ich wissen, dass cos(pi/4) = 1/Wurzel2 ist??

Es ist

$\begin{eqnarray*} cos(x)=\frac{sin(x)}{tan(x)} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} cos(x)=\frac{sin(\frac{\pi}{4})}{tan(\frac{\pi}{4})}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Und nochwas. Halte bitte deine nächsten Beitraäge etwas kürzer, sodass wir stück für stück auf die Probleme eingehen können.

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09.07.2009, 21:00

Canna

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Hallo!

Ich hatte mit anderen Prüfungen zu tun, widme mich aber nun langsam wieder der Analysis.

Ich versuche mein Problem das du nicht nachvollziehen konntest deutlicher zu formulieren:
Es galt folgendes Integral zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~xe^{-x²}~dx \end{eqnarray*}$

x² habe ich substituiert.
Erster Hinweis war dass ich nicht nur das x² in u substituieren soll, sondern dann auch das x in $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ umschreiben muss.
Meine Frage war nun: MUSS ich das einfache x auch mit substituieren?
Dieses $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ wurde nun vor das Integral gezogen und das Integral gelöst.
Was mache ich nun mit dem $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ bzw. nach Rücksubstitution x? Bleibt das einfach stehen?
Ich hoffe das macht es klar.

Zu dem komplizierten Integral: Ok, ich kann Integrale auseinander ziehen, gut. Das geht aber nur bei Summen und Differenzen und nicht bei einem Integral wie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~xy~dx \end{eqnarray*}$ oder?

Gibt es zu einem Integral mit etwas komplexeren Potenzen eine Regel. Zum Beispiel das hier, wie gehe ich da ran?
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~e^{-st}~dt \end{eqnarray*}$

Ich danke euch allen vielmals, ihr helft mir sehr!

Canna

09.07.2009, 21:51

outSchool

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Zitat:

Original von Canna
Hallo!

Ich hatte mit anderen Prüfungen zu tun, widme mich aber nun langsam wieder der Analysis.

Ich versuche mein Problem das du nicht nachvollziehen konntest deutlicher zu formulieren:
Es galt folgendes Integral zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~xe^{-x²}~dx \end{eqnarray*}$

x² habe ich substituiert.
Erster Hinweis war dass ich nicht nur das x² in u substituieren soll, sondern dann auch das x in $\begin{eqnarray*} \sqrt{u} \end{eqnarray*}$ umschreiben muss.
Meine Frage war nun: MUSS ich das einfache x auch mit substituieren?

Nein, denn

$\begin{eqnarray*} u = x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx} = 2x \Rightarrow dx = \frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

Einsetzen von u und dx gibt:

$\begin{eqnarray*} \int_{u(0)}^{u(\infty)}~xe^{-u}~\frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int_{u(0)}^{u(\infty)}~e^{-u}~du \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Canna
Zu dem komplizierten Integral: Ok, ich kann Integrale auseinander ziehen, gut. Das geht aber nur bei Summen und Differenzen und nicht bei einem Integral wie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~xy~dx \end{eqnarray*}$ oder?

y ist eine Konstante

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~xy~dx = y \cdot \int_{0}^{\infty}~x~dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Canna
Gibt es zu einem Integral mit etwas komplexeren Potenzen eine Regel. Zum Beispiel das hier, wie gehe ich da ran?
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~e^{-st}~dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = st \Rightarrow \frac{du}{dt} = s \Rightarrow dt =\frac{du}{s} \end{eqnarray*}$

Einsetzen von u und dt gibt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~e^{-st}~dt = \int_{u(0)}^{u(\infty)}~\frac{1}{s}\cdot e^{-u}~du = \left[-\frac{1}{s}\cdot e^{-st}\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

08.08.2009, 13:05

Canna

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Das ist jetzt mittlerweile so lange her, hier noch mal das Integral über das wir reden:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~xe^{-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe das Integral mit Substitution lösen können, aber mir wurden an anderer Stelle 2 Dinge gesagt, die ich vorher noch nie gehört hatte und die mich immer noch verwirren:

1. Wenn du u=x² substituierst, dann musst du ALLE x substituieren. Das einfache x vor dem e wird dann also zu einem $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Erst dann darfst du diese Konstante vor das Integral ziehen und damit weiter rechnen.

2. Du darfst beim Einsetzen der Grenzen nicht einfach "unendlich" als Grenze einsetzen. Du nimmst dafür einen Buchstaben (zB r) und schreibst dann "lim (r-> undendlich".

Was dieser beiden Punkte stimmt und was nicht? Gilt das immer?

Und zu Integralen mit mehreren Potenzen hatte ich das Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~e^{-st}~dt \end{eqnarray*}$
Ich komme mit Substitution auch auf (-1/s) * $\begin{eqnarray*} \left[e^{-st}\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$
Aber beim Grenzen einsetzen komme ich nicht weiter. Ein unendlich zusammen mit einer anderen Potenz macht mich fertig...

Ich danke euch!!!

08.08.2009, 14:25

Rare676

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Zitat:

Original von Canna
Das ist jetzt mittlerweile so lange her, hier noch mal das Integral über das wir reden:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~xe^{-x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Ich habe das Integral mit Substitution lösen können, aber mir wurden an anderer Stelle 2 Dinge gesagt, die ich vorher noch nie gehört hatte und die mich immer noch verwirren:

1. Wenn du u=x² substituierst, dann musst du ALLE x substituieren. Das einfache x vor dem e wird dann also zu einem $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Erst dann darfst du diese Konstante vor das Integral ziehen und damit weiter rechnen.

An die Sache brauch man sich nicht so strickt halten. Wichtig ist, dass am Ende alle x substituiert sind.

Und in deinem Fall fällt das x nämlich dann weg und man muss sich darum überhaupt keine sorgen mehr machen.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~xe^{x^2}~dx \end{eqnarray*}$

Nach Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} dx=\frac{du}{2x} \end{eqnarray*}$

Beim einsetzen kürzt sich dann dein x weg - ohne große Sorgen zu verursachen. Wenn jetzt noch ein x über sein sollte, dann müsstest du es natürlich noch substituieren - ist hier aber nicht der Fall.

Zitat:

2. Du darfst beim Einsetzen der Grenzen nicht einfach "unendlich" als Grenze einsetzen. Du nimmst dafür einen Buchstaben (zB r) und schreibst dann "lim (r-> undendlich".

Das kann man so machen, bei den meisten Integralen sieht man meiner Meinung aber einfach worauf es hinausläuft und schreibt dann locker-flockig das Ergebnis Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Und zu Integralen mit mehreren Potenzen hatte ich das Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~e^{-st}~dt \end{eqnarray*}$
Ich komme mit Substitution auch auf (-1/s) * $\begin{eqnarray*} \left[e^{-st}\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$
Aber beim Grenzen einsetzen komme ich nicht weiter. Ein unendlich zusammen mit einer anderen Potenz macht mich fertig...

Du brauchst hier nicht zu substituieren. Benutze einfach vorher die Potenzgesetze und ziehe wie gewohnt den konstanten Term vor das Integral Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum schreibst du eigentlich immer erst Wochen später zurück?

08.08.2009, 15:39

Canna

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Danke für die sehr schnelle Antwort.

Also nur alles restliche substituieren wenn es sich nicht eh wegkürzt. Alles klar.

Wie ich das jetzt mit Potenzgesetzen so umformen soll dass ich die Konstante einzeln hab ist mir nicht ganz klar.
Ist das Integral das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~(e^{-s)^t}~dt \end{eqnarray*}$ ??
Und jetzt?

Das Auseinanderziehen 2er Integrale um diese dann einzeln betrachten zu können ist mir auch noch was schwammig:
Kann ich das nur bei Addition und Subtraktion machen oder auch bei Multiplikation und Division?

Danke!
Warum ich immer so spät antworte? Nun, ich habe erst jetzt wieder Zeit mich auf die kommende Prüfung vorzubereiten. Davor standen jetzt eine ganze Reihe anderer Prüfungen. Etwas viel um die Ohren die letzte Zeit, enschuldige.

08.08.2009, 18:18

Rare676

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Canna
Danke für die sehr schnelle Antwort.

Also nur alles restliche substituieren wenn es sich nicht eh wegkürzt. Alles klar.

Wie ich das jetzt mit Potenzgesetzen so umformen soll dass ich die Konstante einzeln hab ist mir nicht ganz klar.
Ist das Integral das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~(e^{-s)^t}~dt \end{eqnarray*}$ ??
Und jetzt?

Das Auseinanderziehen 2er Integrale um diese dann einzeln betrachten zu können ist mir auch noch was schwammig:
Kann ich das nur bei Addition und Subtraktion machen oder auch bei Multiplikation und Division?

Danke!
Warum ich immer so spät antworte? Nun, ich habe erst jetzt wieder Zeit mich auf die kommende Prüfung vorzubereiten. Davor standen jetzt eine ganze Reihe anderer Prüfungen. Etwas viel um die Ohren die letzte Zeit, enschuldige.

Sry, bei den Potenzgesetzen hab ich mich ein wenig vertan.Wo ist genau das Problem? Es ist doch deutlich angegeben für welche variable die "unendlich-betrachtung" gebraucht wird. die andere konstante ist doch nur interessant, wenn sie auch negativ sein kann...

08.08.2009, 18:35

Canna

Auf diesen Beitrag antworten »

Wo das Problem ist??

Ich kann das Integral nicht lösen. Ja, mit "dt" ist gegeben dass -s eine Konstante ist. Und nu? Ich kann es trotzdem nicht integrieren. Wäre dankbar wenn du mir wenigstens nen Tip gibst wie ich vorgehen muss. Meine Ausgangsfrage dazu war schließlich wie ich mit mehreren Potenzen umgehe. Deine Antwort waren die Potenzgesetze und dann auch wieder nicht. Also bin ich doch noch nicht weiter gekommen.

Außerdem noch mal die Frage bzgl des Auseinanderziehens von einem Integral in mehrere einzelne. Geht das nur bei Addition und Subtr. oder auch bei Multipl und Division?

Ich danke dir herzlichst für deine Zeit!!

08.08.2009, 18:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Canna
Außerdem noch mal die Frage bzgl des Auseinanderziehens von einem Integral in mehrere einzelne. Geht das nur bei Addition und Subtr. oder auch bei Multipl und Division?

Das geht nur für Addition und Subtraktion. Für Integrale der Form $\begin{eqnarray*} \int~f(x) \cdot g(x)~dx \end{eqnarray*}$ gibt es eine andere Regel (partielle Integration).

Bei $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty}~e^{-st}~dt \end{eqnarray*}$ hat doch outSchool schon alles vorgerechnet. Das Problem mit der Grenze "unendlich" umgehst du, indem du als obere Grenze die Variable b nimmst und dann b gegen unendlich gehen läßt.

08.08.2009, 19:42

Canna

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Also doch mit Substitution? Rare hat doch vorhin gesagt dass man nicht substituieren braucht!?
Ich habe ja geschrieben, dass ich bis zu diesem Term auf den outschool gekommen ist, auch komme. Aber dann komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht was ich bei 2 versch. Potenzen machen muss. Egal ob jetzt bei dem uendlich oder bei der 0. Von innen nach außen? (also Term mit Potenz ausrechnen und das Ganze dann mit der 2 Potenz?)

Danke euch!

09.08.2009, 12:44

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Canna
Also doch mit Substitution? Rare hat doch vorhin gesagt dass man nicht substituieren braucht!?

Man braucht dann nicht substituieren, wenn man eine Stammfunktion direkt aus dem Ärmel schütteln kann. Falls nicht nicht, dann hilft eine Substitution, beispielsweise s*t = u.

Zitat:

Original von Canna
Aber dann komme ich nicht weiter.

Berechne erstmal das Integral mittels der gefundenen Stammfunktion und setze dabei als obere Grenze die Variable b.

09.08.2009, 13:55

Canna

Auf diesen Beitrag antworten »

Nagut, ich habe es jetzt noch mal ganz von vorne gemacht. st habe ich substituiert.
Nach der Rücksubstitution bekomme ich also raus:
1/s * $\begin{eqnarray*} \left[-e^{-st}\right]_{0}^{\infty} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich nun die Grenzen eingesetzt:
1/s * [ ( $\begin{eqnarray*} \lim_{r \to \infty} -e^{-sr} \end{eqnarray*}$ ) - 1 ]
Bei dem -1 am Ende bin ich mir nicht 100% sicher, weil ich ja e^{-s0} habe ich und nicht weiß ob das -s wirklich keine Rolle spielt. Ansonsten weiß ich nun nicht wie ich mit dem Uendlich in der Potenz (in Verbindung mit einer weiteren Potenz) verfahren soll. Das war ja eigentlich von Anfang an meine Frage und ist es immer noch.....

Vielen Dank!!

10.08.2009, 10:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Canna
Bei dem -1 am Ende bin ich mir nicht 100% sicher, weil ich ja e^{-s0} habe ich und nicht weiß ob das -s wirklich keine Rolle spielt.

Das s spielt keine Rolle, da nun mal s*0 = 0 ist. Du hast aber nicht $\begin{eqnarray*} e^{-s0} \end{eqnarray*}$ da stehen, sondern $\begin{eqnarray*} -e^{-s0} \end{eqnarray*}$ . Und das wird wiederum abgezogen.

Zitat:

Original von Canna
Ansonsten weiß ich nun nicht wie ich mit dem Uendlich in der Potenz (in Verbindung mit einer weiteren Potenz) verfahren soll. Das war ja eigentlich von Anfang an meine Frage und ist es immer noch.....

Zum einen hast du kein unendlich im Exponenten, sondern ein r, das lediglich gegen unendlich geht. Zum anderen kommt es jetzt auf das Vorzeichen von s an. Ist s positiv, dann geht der Exponent gegen minus unendlich und damit der Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{-s \cdot r} \end{eqnarray*}$ gegen ... .

10.08.2009, 17:44

Canna

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Ok, also was ich mir daran jetzt abgeleitet habe, ist dass die Potenzen miteinander multipliziert werden. Habe ich also als Exponenten -s0, so ist das =0. Damit hätte ich dann am Ende meiner Gleichung +1 stehen, richtig?

Das s in der Potenz ist negativ, also wird das unendlich (bzw das r, das gegen unendlich strebt) auch negativ. Da das e aber auch negativ ist habe ich einen ganz kleinen Nenner und eine 1 im Zähler. Folglich ist das mein Ergebnis:
r/s und r strebt gegen unendlich.
Irgendwie hab ich bei all dem hin und her nicht das Gefühl dass das stimmt??

Danke!!

10.08.2009, 19:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Canna
Ok, also was ich mir daran jetzt abgeleitet habe, ist dass die Potenzen miteinander multipliziert werden. Habe ich also als Exponenten -s0, so ist das =0. Damit hätte ich dann am Ende meiner Gleichung +1 stehen, richtig?

Im Prinzip ja, allerdings müssen wir (oder du) dringend Begriffe klären. Wir haben es bei dem s*0 (bzw. dem s*r) mit Faktoren zu tun, deren Produkt als Exponent in einer Potenz stehen. Man nennt also das ganze Potenz.

Zitat:

Original von Canna
Das s in der Potenz ist negativ, also wird das unendlich (bzw das r, das gegen unendlich strebt) auch negativ. Da das e aber auch negativ ist habe ich einen ganz kleinen Nenner und eine 1 im Zähler. Folglich ist das mein Ergebnis:
r/s und r strebt gegen unendlich.
Irgendwie hab ich bei all dem hin und her nicht das Gefühl dass das stimmt??

In der Tat ist das ein übles Gewurschtel. Du mußt lediglich die Fälle s > 0 und s < 0 unterscheiden. Dann kannst du dir überlegen, wohin -s * r geht, wenn r gegen plus unendlich geht. Und drittens brauchst du die Kenntnis der Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~e^x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~e^x \end{eqnarray*}$ .

10.08.2009, 21:14

Canna

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Das ganze ist die Potenz, ok. Aber ob jetzt eine Potenz oder mehrere, wichtig ist für mich in welcher Beziehung sie untereinander stehen. Es sind also immer Faktoren, alles klar.

Wenn s < 0 ist, dann habe ich dort stehen (1/-e^r)+1, r gegen unendlich. Das aber immer noch * 1/s. der Nenner wird also sehr klein (e geht gegen unendlich und hat negatives Vorzeichen). Damit wird der Bruch unendlich groß.

Richtig soweit?

Wenn s > 0 wäre, was es nicht ist, dann würde das e unendlich groß werden, aber durch das negative Vorzeichen zu "- unendlich" werden. Hier ist das +1 vernachlässigbar.

Also einmal 1/s * - unendlich und einmal 1/s * + unendlich

Ich hoffe das stimmt jetzt. Viel zu verwirrend...

11.08.2009, 11:18

klarsoweit

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Am besten wir streichen deinen letzten Beitrag, weil das wirklih viel zu verwirrend ist, und du beantwortest diese Fragen:

Zitat:

Original von klarsoweit
Und drittens brauchst du die Kenntnis der Grenzwerte $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~e^x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}~e^x \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, das ist machbar, ohne daß das Maß an Verwirrung einen zulässigen Wert überschreitet.

11.08.2009, 14:20

Canna

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Das Maß an Verwirrung konvergiert bei mir grundsätzlich gegen unendlich wenn es um mehr als alltags-Mathe geht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber das kann ich natürlich beantworten. e^{x} konvergiert gegen unendlich.
e^{-x} dagegen lässt sich schreiben als 1/(e^{x}) und strebt so gegen Null.

Wenn jetzt im 2. Fall der Nenner negativ ist, dann ändert das nichts daran dass der Bruch gegen 0 strebt.
Ich hoffe das ist korrekt so.

Danke für deine Geduld!

11.08.2009, 16:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Canna
Aber das kann ich natürlich beantworten. e^{x} konvergiert gegen unendlich.
e^{-x} dagegen lässt sich schreiben als 1/(e^{x}) und strebt so gegen Null.

Das ist im Prinzip richtig, abgesehen von der Wortwahl. e^x divergiert gegen unendlich.

Halten wir mal fest, daß $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ für x gegen unendlich gegen Null geht. Statt x hast du jetzt s*r, also $\begin{eqnarray*} e^{-s \cdot r} \end{eqnarray*}$ da stehen. Jetzt kommt es eben auf das Vorzeichen von s an. Ist s > 0, dann geht s*r gegen unendlich und insgesamt also $\begin{eqnarray*} e^{-s \cdot r} \end{eqnarray*}$ gegen ...

11.08.2009, 21:02

Canna

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e^{-sr} geht gegen 0 würde ich jetzt behaupten. Denn s < 0 und damit wird r auch negativ. r geht gegen unendlich und wird negativ, damit geht der ganze Bruch gegen 0.
Korrekt?

12.08.2009, 12:29

klarsoweit

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Die Begründung ist schlicht und ergreifend Unfug. Erstens betrachten wir den Fall s > 0. Da kann nicht auf einmal s < 0 sein. Zweitens lassen wir r gegen unendlich gehen. Also ist r positiv. Das Produkt s*r ist also positiv und geht gegen unendlich. Einzig und allein richtig ist, daß dann $\begin{eqnarray*} e^{-sr} \end{eqnarray*}$ gegen Null geht.

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