Koordinatenvektoren von Polynomen

01.06.2009, 21:46

ha-ti

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Koordinatenvektoren von Polynomen

hallo,
ich brauch mal wieder hilfe Wink

Wink

gegeben ist das polynom p (x) $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

als vektor im vektorraum $\begin{eqnarray*} R _{\leq \ 2} \end{eqnarray*}$ [x] und die 2 basen:

$\begin{eqnarray*} B_{1 }= \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 1,x, x^{2} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} B_{2 }= \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 2x^{2} - 1, \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x, 1 \end{eqnarray*}$ )

des $\begin{eqnarray*} R _{\leq \ 2} \end{eqnarray*}$ [x].
ich soll den koordinatenvektor von p (x) bezüglich der beiden basen berechnen.

meine lösung:
für $\begin{eqnarray*} B_{1 }= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{2 }= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} \\ 1 \\ \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
stimmt das verwirrt

verwirrt

danke für die antworten

01.06.2009, 22:01

kiste

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Für B1 stimmt es. Für B2 nicht, schau dir da die erste Komponente nochmal an(insbesondere sieht man hier die Lösung eigentlich ohne Rechnung Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

01.06.2009, 22:11

ha-ti

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ich seh es nicht unglücklich

unglücklich

was meinst du verwirrt

verwirrt

01.06.2009, 22:16

kiste

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Wie kommst du auf die 1/4 in B2? Meiner Meinung nach sollte dort 0 stehen

01.06.2009, 22:56

ha-ti

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ich habe die erweiterte koeffizientenmatrix in normierte zeilenstufenform umgewandelt.
und bekam als ergebnis:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.06.2009, 22:58

kiste

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Das ist für mich keine Begründung. Mach doch einmal die Probe falls du weißt was du mit dem schönen Algorithmus überhaupt berechnet hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

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01.06.2009, 23:26

ha-ti

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so, nun hab ich nochmals nachgerechnet
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
somit lautet der koordinatenvektor
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
danke Freude

Freude

01.06.2009, 23:41

kiste

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Ich muss nochmal nachhaken: Weißt du wie man das Ergebnis überprüfen kann? Es scheint mir fast so als ob du es nicht verstehst und nur analog zu einem Beispiel oder so rechnest.

02.06.2009, 00:52

ha-ti

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so mach ich das:
die werte , die ich für den koordinatenvektor bekommen habe (koeffizienten), multipliziere ich mit den polynomen der basis , also erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} 0 ( 2x^{2} - 1)+ 1 (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x)+ \frac{2}{9} (1) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x+ \frac{2}{9} = B_{2} \end{eqnarray*}$

das ist doch soweit richtig, oder

02.06.2009, 01:19

tigerbine

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Antwort auf PN-Anfrage. Dies ist in Zukunft zu unterlassen, da sich hier ja bereits ein Helfer eingebracht hat. Danke.

Es soll nicht B2 sondern p(x) rauskommen. Ansonsten sieht es gut aus.

02.06.2009, 01:23

ha-ti

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danke tigerbine, war ja auch ein notfall. hätte ansonsten bei der ... anrufen müssen.
Tanzen

Tanzen

02.06.2009, 01:32

mYthos

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Was du zuletzt gemacht hast, ist die Probe, und die hat die Richtigkeit ergeben. Rechnen muss man es natürlich umgekehrt. Meine Methode ist die des Koeffizientenvergleiches:

Die Koordinaten des gesuchten Vektors seien (a; b; c); dann gilt

$\begin{eqnarray*} (2x^2 - 1)a + (\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x)b + 1 \cdot c = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

Der Koeffizentenvergleich (x^2; x; x^0) liefert nun das lGS

$\begin{eqnarray*} 2a + \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{b}{3} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a + c = \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$
----------------------------

Die Lösungen desselben sind die gesuchten Koordinaten des P.Vektors.

mY+

Bemerkung: Die Lösung für B1 stimmt meiner Ansicht nicht (die 1. und die 3. Koordinate sind vertauscht).

02.06.2009, 11:42

tigerbine

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Zitat:

Original von mYthos
Bemerkung: Die Lösung für B1 stimmt meiner Ansicht nicht (die 1. und die 3. Koordinate sind vertauscht).

Das ist auch richtig, also dass es vertauscht ist.

02.06.2009, 12:40

mYthos

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Sorry, ich hab's gerade gesehen, ich hatte nämlich schon die Angabe vertauscht, alles klar! Man solte in der Nacht ab 1:00 h halt lieber zur Ruhe gehen Big Laugh

Big Laugh

mY+

02.06.2009, 12:54

tigerbine

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RE: Koordinatenvektoren von Polynomen
Also wie kann uns denn so eine einfache Frage so fertig machen. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von ha-ti

$\begin{eqnarray*} P(x)= \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{2}{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{1 }= \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} 1,x, x^{2} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} B_{1 }= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{9} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, und da war es doch RICHTIG was du gesagt hast. Ich wollte mit meiner Antwort das nur bestätigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Schreibweise von ha-ti ist schon mal schlecht, das habe ich heute Nacht angedeutet, hatte aber keine Lust mich länger darüber auszulassen.

Es ist

$\begin{eqnarray*} p \in \Pi_2 \end{eqnarray*}$

Dabei gilt für den Koordinatenvekor bzgl. B1:

$\begin{eqnarray*} p(x) = (\frac{2}{9},\frac{1}{3},\frac{1}{2})^T_{B_1} \end{eqnarray*}$

02.06.2009, 13:35

mYthos

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Doppelt gemoppelt, es ist wie verhext. Teufel

Teufel

Ja, so hatte ich das auch gemeint, da $\begin{eqnarray*} B_1 = (1; x; x^2 ) \end{eqnarray*}$ ist, muss man in diesem Fall bei der ersten Koordinate mit der Konstanten, nämlich 2/9 beginnen ...

mY+

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