Äquivalenzklassen, Beweis

02.06.2009, 02:39	wischiwaschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzklassen, Beweis Sei ~ eine Äquivalenzrelation in M, M Menge. Dann gilt: $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow [x] = [y] \end{eqnarray}$ (Wie kriege ich das "~" in den Latex-Tag?) Ich habe hier den Beweis, mit dem ich so mein Verständnisproblem habe. " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Zu zeigen: $\begin{eqnarray} [x] \Rightarrow [y] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \land \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [y] \Rightarrow [x] \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Zu zeigen: $\begin{eqnarray} ([x] = [y]) \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ Wie ich DAS beweise, leuchtet mir ein. Ich weis nur nicht, WARUM genau DAS zu zeigen ist. Für mich steht da Folgendes: Seien A, B, C Aussagen: $\begin{eqnarray} A :\Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B :\Leftrightarrow [x] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C :\Leftrightarrow [y] \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} A \Leftrightarrow (B \Leftrightarrow C) \end{eqnarray}$ Dann kann ich das doch nicht SO beweisen: " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Zu zeigen: $\begin{eqnarray} (B \Rightarrow C) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \land \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (C \Rightarrow B) \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Zu zeigen: $\begin{eqnarray} (B \Leftrightarrow C) \Rightarrow A \end{eqnarray}$ Damit hätte ich bewiesen, dass $\begin{eqnarray} (B \Leftrightarrow C) \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} (B \Leftrightarrow C) \Rightarrow A \end{eqnarray}$ , aber da fehlt doch noch, dass: $\begin{eqnarray} A \Rightarrow (B \Leftrightarrow C) \end{eqnarray}$ ? Meiner Meinung nach müsste man erstmal zeigen, dass $\begin{eqnarray} [x] = [y] \end{eqnarray}$ . Dann, dass aus $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} [y] \end{eqnarray}$ (ich habe davor ja gezeigt, dass beides Äquivalent ist). Das wäre " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ ". Und die umgekehrte Richtung müsste dann sein, dass aus $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} [y] \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ . Wo ist hier mein Denkfehler?
02.06.2009, 11:32	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Du sollst zeige: $\begin{eqnarray} x\thicksim y\Leftrightarrow [x]=[y] \end{eqnarray}$ Das zeigt man durch: $\begin{eqnarray} \Rightarrow: x\thicksim y\Rightarrow \left(\left(x\in[x]\Rightarrow x\in[y]\right)\text{ und }\left(y\in[y]\Rightarrow y\in[x]\right)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftarrow: [x]=[y]\Rightarrow x\thicksim y \end{eqnarray}$ Gruß
04.06.2009, 09:15	wischiwaschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre auch natürlich meine erste Überlegung gewesen, denn: Seien A, B Aussagen: $\begin{eqnarray} A \Leftrightarrow B \end{eqnarray}$ äq $\begin{eqnarray} (A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow A) \end{eqnarray}$ Aber der Ansatz: " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ " Zu zeigen: $\begin{eqnarray} [x] \Rightarrow [y] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \land \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} [y] \Rightarrow [x] \end{eqnarray}$ " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Zu zeigen: $\begin{eqnarray} ([x] = [y]) \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ Den habe ich mir nicht aus den Fingern gesaugt. Der steht so in meinem Mathebuch. Imo ist der aber unvollständig und es müsste so sein, wie ich geschrieben habe. Wäre toll, wenn das mal jemand bestätigen könnte.
11.06.2009, 13:54	H4wk	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} [x] \Rightarrow [y] \end{eqnarray}$ für eine Aussage? Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray} x \in [x] \Rightarrow x \in [y] \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} x \sim y \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ ist doch die Äquivalenzklasse von x, also nach Definition $\begin{eqnarray} [x] =\{ y \in M \| y \sim x \} \end{eqnarray}$

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