Hermitesche Matrix: Positiv semidefinit

02.06.2009, 07:35

eierkopf1

Hermitesche Matrix: Positiv semidefinit

Hallo!

Folgendes Bsp:

$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{n\times n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^*=A. \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist: Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ positiv semidefinit ist und es gilt $\begin{eqnarray*} a_{ii} = 0 \end{eqnarray*}$ , dann sind alle Einträge in Zeile und Spalte $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gleich 0.

Meine Ideen bis jetzt:
Da die Matrix positiv semidefinit ist, ist ein Eigenwert 0 und damit hat die Matrix auch nicht vollen Rang.
Laut wikipedia ist jede hermitesche Matrix diagonalisierbar (das müsste ich erst beweisen, da ich das in meinem Skript nicht gefunden habe). Dh: $\begin{eqnarray*} T^*AT=diag(\lambda_1....) \end{eqnarray*}$ (wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ Eigenwerte sind). Ein Diagonalelement ist natürlich 0 und auch die zugehörige Spalte und Zeile sind 0. Aber für die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ habe ich es nicht gezeigt. Wie mache ich das?

02.06.2009, 10:20

WebFritzi

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RE: Hermitesche Matrix: Positiv semidefinit

Zitat:

Original von eierkopf1
Da die Matrix positiv semidefinit ist, ist ein Eigenwert 0 und damit hat die Matrix auch nicht vollen Rang.

Das ist schon einmal falsch. Auch positiv definite Matrizen sind positiv semidefinit. Hier ist die Zusatzinformation schon wichtig.

Wende zum Beweis die Cauchy-Schwartzsche Ungleichung auf das (positiv semidefinite) innere Produkt $\begin{eqnarray*} (x,y) := x^TAy \end{eqnarray*}$ an.

02.06.2009, 10:24

eierkopf1

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RE: Hermitesche Matrix: Positiv semidefinit
Danke für die Antwort!

Stimmt natürlich. (Ich meinte in diesem Zusammenhang. War schlampig formuliert).

OK. Ich versuchs mal mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

02.06.2009, 17:07

eierkopf1

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RE: Hermitesche Matrix: Positiv semidefinit
Ich komme nicht weiter unglücklich

Positiv semidefinit heißt ja:
$\begin{eqnarray*} x^*Ax\geq 0 \end{eqnarray*}$

Und ein durch A induziertes inneres Produkt ist positiv semidefinit, wenn A positiv semidefinit ist:
$\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle_A = x^*Ay \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung anwende:
$\begin{eqnarray*} x^*Ayx^*Ay=|\langle x,y\rangle_A |^2 \leq \langle x,x\rangle_A \langle y,y\rangle_A = x^*Axy^*Ay \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^*Ax\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^*Ay\geq 0 \end{eqnarray*}$

Aber wie bringe ich das in Zusammenhang mit der Nullspalte und Nullzeile?
$\begin{eqnarray*} x^*Ayx^*Ay \leq x^*Axy^*Ay \end{eqnarray*}$

07.06.2009, 02:23

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} a_{ij} = e_i^* A e_j = \langle e_i,e_j\rangle_A. \end{eqnarray*}$

07.06.2009, 13:34

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Ich versuchs mal (leider habe ich erst in ein paar Tagen Zeit dazu) und poste dann mein Ergebnis.