Differentiale als Funktionen

02.06.2009, 10:06

plizzz

Differentiale als Funktionen

Hallo,
da mir hier schon ein paar mal kompetente Hilfe geboten wurde, wende ich mich wieder an euch.

Die Fragestellung ist nicht besonders genau, aber ich hoffe trotzdem, dass ihr damit was anfangen könnt. Und zwar geht es nicht wirklich in meinen Kopf rein, wie ich Ableitungen als lineare Funktionen auffassen kann. Die Tangente im eindimensionalen Fall ist mir noch klar und die "Aussage", die die Ableitung an einer Stelle einer Funktion über eine Funktion macht (nämlich die Steigung in diesem Punkt), ist mir noch klar.

Was ist allerdings mit den linearen Abbildungen, durch die die Ableitungen von Funktionen zwischen (bei uns momentan erstmal reellen) Vektorräumen an bestimmten Stellen dargestellt werden? Wie kann ich mir sowas anschaulich vorstellen? Welche "Aussage" hat so eine Funktion und was kann ich erwarten, wenn ich sie auf einen Vektor anwende?

Mir ist das anschaulich überhaupt nicht klar, weshalb ich dann zB auch Probleme habe, den Mittelwertsatz nachzuvollziehen.

Wäre super, wenn mir das jemand kurz erläutern oder einen Link, wo das erklärt wird, geben könnte.

Danke schonmal,
plizzz

02.06.2009, 11:16

system-agent

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Zuerst nochmal eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Wir wollen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nun "einfach" darstellen an einem Punkt $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ . Was ist einfach? Natürlich, lineare Funktionen sind einfach. Also hätte man gerne eine lineare Abbildung die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ "gut" annähert.
Natürlich kann man immer
$\begin{eqnarray*} f(p+h)=f(p)+L(h)+g(h) \end{eqnarray*}$
schreiben wobei $\begin{eqnarray*} L:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ lineare Funktion ist und $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die den "Fehler" aufhebt den man mit der linearen Approximation $\begin{eqnarray*} f(p)+L(h) \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} p+h \end{eqnarray*}$ begeht.
Eine Funktion heisst nun differenzierbar, falls alles gut geht, das bedeutet:
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ differenzierbar genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{g(h)}{h}=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun allgemeiner im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ :
Hast du eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ kannst du sicher wieder einmal diese Entwicklung von oben schreiben, also
$\begin{eqnarray*} f(p+h)=f(p)+L(h)+g(h) \end{eqnarray*}$ .
Was heisst nun hier differenzierbar? Genau das Gleiche smile

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heisst in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ differenzierbar genau dann, wenn
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{\|g(h)\|_{\mathbb R^m}}{\|h\|_{\mathbb R^n}}=0 \end{eqnarray*}$
[dabei bedeutet $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\mathbb R^n} \end{eqnarray*}$ eine Norm im Definitionsraum und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_{\mathbb R^m} \end{eqnarray*}$ eine Norm im Zielraum].
Das heisst man kann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ lokal als eine affine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f(p)+L(h) \end{eqnarray*}$ schreiben und der Fehlerterm verhält sich gut.

Man kann leicht einsehen, dass die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} L:\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist durch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und man nennt diese Abbildung das Differential von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ am Punkt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und schreibt oft
$\begin{eqnarray*} (Df)_p \end{eqnarray*}$ .
Und das Differential ist also tatsächlich eine lineare Abbildung, das heisst
$\begin{eqnarray*} (Df)_p(ah_1+bh_2)=a(Df)_p(h_1)+b(Df)_p(h_2) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} h_1,h_2\in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

04.06.2009, 19:39

plizzz

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Ok danke, damit kann ich schon etwas anfangen.
Aber wenn nun das Differential eine lineare Abbildung ist, kann ich diese ja durch eine Matrix darstellen. Gibts da Wege, dieses zu genau zu berechnen und macht das überhaupt Sinn? Oder reicht es als "Einsteiger" in die Differentialrechnung im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ vorerst, wenn man sich das Differential als irgendeine lineare Abbildung vorstellt?

04.06.2009, 20:21

system-agent

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Ja, das ist richtig, das Differential kann man als eine Matrix schreiben.
Für die Theorie reicht es erst mal sich das Differential als eine lineare Abbildung vorzustellen derart, dass $\begin{eqnarray*} f(p)+(Df)_p(h) \end{eqnarray*}$ eine "gute" Approximation von $\begin{eqnarray*} f(p+h) \end{eqnarray*}$ ist.
Übrigens für diese lineare Abbildung sagt man häufig auch die Jacobimatrix, falls du mit den Begriffen schwierigkeiten hast.

Du wirst sicher die Definition von partieller Ableitung kennenlernen, also
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \end{eqnarray*}$
für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f=(f_1,...,f_m):\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ und dann wird sich ergeben, dass das Differential [als Matrix] genau die Einträge
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f_i}{\partial x_j} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j=1,...,m \end{eqnarray*}$ besitzt.

06.06.2009, 20:52

plizzz

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Heißt das also, wenn ich ein Differential an einer bestimmten Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bestimmen sollte, würde ich alle partiellen Ableitungen ausrechnen, die Jacobi-Matrix aufstellen, darin $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen und das wäre mein Differential als Matrix?

Und zweite Frage:
Wenn ich eine Richtungsableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in Richtung v bilden soll, wie mache ich das?

Habe mir das jetzt so gedacht:
Die Richtungsableitung in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in Richtung v ist ja gerade
$\begin{eqnarray*} df(x_0)(v)=df(x_0)(a_1*e_1+...+a_n*e_n)=a_1*df(x_0)(e_1)+...+a_n*df(x_0)(e_n)=a_1 * \frac{\partial f}{\partial x_1} + ... + a_n * \frac{\partial f}{\partial x_n}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Also könnte ich so durch die partiellen Ableitungen eine Richtungsableitung bestimmen.

Ist der Gedanke richtig oder gibt es da einen Fehler?

Danke für die Hilfe,
plizzz

07.06.2009, 13:00

system-agent

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Zitat:

Original von plizzz
Heißt das also, wenn ich ein Differential an einer bestimmten Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bestimmen sollte, würde ich alle partiellen Ableitungen ausrechnen, die Jacobi-Matrix aufstellen, darin $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einsetzen und das wäre mein Differential als Matrix?

Ganz genau Freude

Zitat:

Original von plizzz
Habe mir das jetzt so gedacht:
Die Richtungsableitung in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in Richtung v ist ja gerade
$\begin{eqnarray*} df(x_0)(v)=df(x_0)(a_1*e_1+...+a_n*e_n)=a_1*df(x_0)(e_1)+...+a_n*df(x_0)(e_n)=a_1 * \frac{\partial f}{\partial x_1} + ... + a_n * \frac{\partial f}{\partial x_n}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ja, das ist auch richtig der Gedanke, auch wenn man noch etwas dazu sagen muss:
Zum einen musst du noch einsehen, dass die Einträge im Differenial [bzw Jacobimatrix] genau die partiellen Ableitungen sind. Das wird meist in der Vorlesung gemacht.
Zum Anderen:
Deine Überlegung ist inklusive dem letzten Gleichheitszeichen richtig für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Für eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ ist natürlich
$\begin{eqnarray*} (Dg)_{x_0}(e_i)\neq\frac{\partial g}{\partial x_i}(x_0) \end{eqnarray*}$ , denn zum einen ist der Bruch auf der rechten Seite undefiniert und zum Anderen muss man einen Vektor bekommen [denn das Differential an jedem Punkt ist eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} (Dg)_{x_0}:\mathbb R^n\to\mathbb R^m \end{eqnarray*}$ , also wird durch eine n x m - Matrix beschrieben und damit ist $\begin{eqnarray*} (Dg)_{x_0}(e_i) \end{eqnarray*}$ ein Vektor].

07.06.2009, 15:55

plizzz

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Aber ich müsste doch den Ansatz oben auf die einzelnen Koordinatenabbildungen anwenden können und so die Richtungsableitung erhalten, oder nicht?

Aber jetzt mit dem Differential, Jacobimatrix und demzufolge auch dem Gradienten geht mir so langsam ein Licht auf.

Dankeschön!

07.06.2009, 18:13

system-agent

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Naja, es gibt da zwei Seiten der Medaille:
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare Funktion.

Entweder, man definiert
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0):=\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+te_i)-f(x_0)}{t} \end{eqnarray*}$
also als Richtungsableitung, dann muss man einsehen, dass die Jacobimatrix bzw das Differential genau aus diesen Einträgen besteht.

Andererseits kann man auch folgendes definieren:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_0):=(Df)_{x_0}(e_i) \end{eqnarray*}$
Hier muss man dann zwar nicht einsehen dass es Richtungsableitungen sind, aber hier wird so getan als wüsste man schon wie man sich das Differential vorstellen kann [bzw wie man es in der Praxis bestimmen kann].

Beide Sichtweisen haben seine Vor und Nachteile und beide sind natürlich gleichberechtigt. Es stellt sich also die Frage wie ihr das Ganze angegangen seid und von dem Standpunkt aus kannst du anfangen und den jeweils Anderen einsehen.

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