Unsymmetrische Matrix: Cholesky-Zerlegung

02.06.2009, 11:12

eierkopf1

Unsymmetrische Matrix: Cholesky-Zerlegung

Hallo!

Wir haben die Cholesky-Zerlegung nur für symmetrische/hermitesche Matrizen definiert und auch bei wikipedia finde ich keine für unsymmetrische Matrizen.

Jedoch habe ich ein Beispiel zu lösen:

Besitzt die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Cholesky-Zerlegung?

Die geg. Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} 1000 \times 1000 \end{eqnarray*}$ -Matrix und offensichtlich unsymmetrisch.

Ich würde sagen, dass sie keine Cholesky-Zerlegung besitzt, da wir das nicht definiert haben. Aber wenn ich in Octave eine (kleine) unsymmetrische Matrix eingebe, dann berechnet es mir auch die Cholesky-Zerlegung.

Aber warum das?

02.06.2009, 11:50

tigerbine

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RE: Unsymmetrische Matrix: Cholesky-Zerlegung
Zeig mal das Bsp. was du in octave eingegeben hast.

Es ist ja nun mal bei Cholesky

$\begin{eqnarray*} A=LL^T \end{eqnarray*}$

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} A^T=(LL^T)^T=LL^T=A \end{eqnarray*}$

Somit macht es keinen Sinn, dass für unsymmetrische Matrizen machen zu wollen.

02.06.2009, 12:08

eierkopf1

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RE: Unsymmetrische Matrix: Cholesky-Zerlegung
Danke für die Antwort!

Das war irgendeine beliebige:
zB
$\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix} 12 & 3 & 3 \\ 34 & 34 & 2 \\ 12 & 3 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.06.2009, 12:21

tigerbine

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RE: Unsymmetrische Matrix: Cholesky-Zerlegung
Der Algorithmus läuft dennoch. Er wird ja auch gerne als Test auf positiv def. genommen. Daher vermute ich, fragt man die Matrix im Programm nicht nach Symmetrie ab. Aber man erhält keine chol Zerlegung. Ein Blick ins Kleingedruckte hilft hier weiter:

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:

CHOL   Cholesky factorization.
    CHOL(X) uses only the diagonal and upper triangle of X.
    The lower triangular is assumed to be the (complex conjugate)
    transpose of the upper.  If X is positive definite, then
    R = CHOL(X) produces an upper triangular R so that R'*R = X.
    If X is not positive definite, an error message is printed.

Das Programm nimmt nur das oberere Dreieck + Diagonale (enthält bei Symmetrie ja auch alle Infos) und nimmt dann an, dass die Matrix symmetrisch ist.

EDIT:

Ein positives Spektrum reicht nicht aus, um eine pos. definite Matrix zu bekommen. Sie muss imho per Definition symmetrisch sein.

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