gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

02.06.2009, 17:53

frank51

gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Hallo!

Ich habe massive Probleme mit folgender Aufgabe:

Ermitteln sie zu folgender Funktionenfolge den jeweils punktweisen Grenzwert f. Geben Sie dessen maximalen Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ an. Ist die Funktion stetig in D? Entscheiden Sie, ob die Funktionenfolge gleichmäßig in D konvergiert.

Hinweis: Wählen sie $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_n (x) = \frac{n}{1 + n | x | } \end{eqnarray*}$

Da ich beliebige $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen darf wäre mein Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Für die punktweise Konvergenz betrachte ich

$\begin{eqnarray*} F(x) = \lim_{n \to \infty } \frac{n}{1 + n | x |} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\frac{1}{n}+ | x |} = \frac {1}{| x |} \end{eqnarray*}$

Das ist doch dann mein punktweiser Grenzwert, oder?

Nun tu ich mir aber extrem schwer mit der gleichmäßigen Konvergenz.
Ich verstehe schonmal das Kriterium nicht wirklich:

Ich prüfe ob $\begin{eqnarray*} | f_n(x) - F(x) | \end{eqnarray*}$ kleiner/größer/gleich epsilon ist? Kann mir das nochmal jemand "auf Deutsch" erklären? Aus dem Matheskript werd ich nicht schlau, steht zwar super mathematisch korrekt da aber was ich konkret machen oder prüfen soll kann ich daraus leider nicht erschließen unglücklich

für jede Hilfe dankbar,
mfg Frank

02.06.2009, 18:58

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von frank51
$\begin{eqnarray*} F(x) = \lim_{n \to \infty } \frac{n}{1 + n | x |} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\frac{1}{n}+ | x |} = \frac {1}{| x |} \end{eqnarray*}$

Und was ist mit $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ?

Für jedes feste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ hast du eine Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ , z.b. $\begin{eqnarray*} (f_n(3))=\left(\frac{n}{1+3n}\right) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (f_n(-\pi))=\left(\frac{n}{1+\pi n}\right) \end{eqnarray*}$ usw.. Diese konvergieren eventuell alle gegen einen Wert, für festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gegen dein $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ . Wenn du ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ wählst, dann findest du also für ein festes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\varepsilon,x) \end{eqnarray*}$ , was von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, sodass $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-F(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist die punktweise Konvergenz.

Gleichmäßige Konvergenz bedeutet nun, dass das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ nicht mehr von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängt, sondern nur von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , d.h. du findest ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , was du gleichzeitig für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nutzen kannst. Und so lautet auch die Definition der gleichmäßigen Konvergenz (beachte die Reihenfolge der Quantoren!):

$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert auf $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen die Funktion $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x\in D \end{eqnarray*}$ gleichzeitig gilt:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-F(x)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Bei deiner Aufgabe stellt sich heraus, dass die Funktionenfolge auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig gegen das $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ konvergiert. Was musst du nun dafür zeigen? Was ist also die Negation von obiger Formulierung?

02.06.2009, 21:00

frank51

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Also schränke ich meinen Definitionsbereich ein indem ich die 0 aus R ausschließe, d.h. ich betrachte für meinen Definitionsbereich sowohl die Funktion an sich, als auch die Funktion, gegen die sie strebt?

Wenn ich nun punktweise Konvergenz überprüfe komme ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} | f_n (x) - F(x) | = | \frac{n}{1+ n |x|} - \frac{1}{|x|} | \end{eqnarray*}$

Ich wähle epsilon = 1 und x = 1/n und erhalte:

$\begin{eqnarray*} | \frac{n}{1 + 1} - n | = | \frac{n}{2} - n | < \epsilon \end{eqnarray*}$

für alle n >= 3

Also würde ich sagen, punktweise konvergenz ist erfüllt!

Mir ist jetzt nur nicht klar, wie ich das richtig aufschreiben soll mit der gleichmäßigen konvergenz. Soll ich nun ein x wählen, das eingesetzt dem Kriterium widerspricht? Wäre damit bewiesen, dass die Funktion nicht gleichmäßig konvergiert?

03.06.2009, 23:31

Mathespezialschüler

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Das ist absolut falsch, was du da tust. Die punktweise Konvergenz hast du in deinem ersten Beitrag noch richtig gemacht. Ich habe nur gefragt, was für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ist, da dort diese Rechnung nicht klappt.

Was du jetzt gemacht hast, beweist nicht die punktweise Konvergenz, sondern tut etwas völlig anderes: Es widerlegt die gleichmäßige Konvergenz. $\begin{eqnarray*} \left|\frac{n}{2}-n\right|=\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ wird nicht beliebig klein, sondern beliebig groß!

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