gegenseitige Lage von Geraden aufgabe mit variablen

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Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »
gegenseitige Lage von Geraden aufgabe mit variablen
Hallo,
ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.

Aufgabe:

Gibt es für die Variablen a, b, c und d Zahlen sodass g: = + r* und h : = + s*

a) identisch sind
b) zueinander parallel und verschieden sind
c) sich schneiden
d) zueinander windschief sind


als erstes hab ich dann folgendes Gleichungssystem aufgestellt:




Jetzt muss ja eine Läsung rauskommen wenn die einen Schnittpunkt haben, unenedlich viele wenn die Geraden identisch sind und keine Lösung wenn sie paralell oder windschief sind unglücklich
nur ich hab leider keine ahnung wie das mit dem Lösen das LGS geht. Ich hab schon hin und gerechnet aber irgendwie Hammer


danke
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch doch erstmal die beiden RVektoren parallel zu bekommen. Das Verhältnis kannst du ja aus der 2.Koord. ableiten.
Was dein GS angeht, könntest du ja z.B r=s=1 setzen. Dann a,b,c,d entweder ausrechnen oder eine noch mit einer Zahl vorbelegen.
 
 
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich hab dann jetzt zuerst untersucht wann die Geraden parallel sind

parallelität:
stützvektoren müssen linear unabhängig sein
richtungsvektoren müssen linear abhängig sein

-> für d = 4/3 und b=9 sind die richtungvektoren linear abhängig

identisch :
richtungsvektoren müssen linear abhängig sein
stützvektoren müssen linear abhängig sein
dies ist gegeben wenn a= -3/4 und c=13/4

Schnittpunkte:
richtungvektoren sind linear unabhängig
ich hab jetzt drei fälle unterschieden

1) b=d=0
ich hab folgende Gleichungenaufgestellt
0*r-3*s=c-1
3*r-1*s=-a
4r =1

also ist r=1/4

das hab ich dann eingesetzt in die oberen beiden Gleichungen und nach s aufgelöst da kam dann am Ende raus -3a-c= 5/4
2) b 9 und d=4/3

dazu hab ich dann folgende Gleichungen aufgestellt:

r*b -3*s = c-1
3*r -1*s = -a
4*r - (4/3)*s=1

ich weiß ja dass es nur eine Lösung geben darf, nur wie find ich die ? Helft mir bitte unglücklich
knups Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gegenseitige Lage von Geraden aufgabe mit variablen
zunächst ein RF mit 13*r

Auch wenn ich zu spät war: vielleicht doch mal lesen

Nun ein paar Anregungen.

1) die Geraden sind parallel. Die Richtungsvektoren müssen kollinear sein, also z.B. ist der der 2.Geraden das k-fache des Richtungsvektors der ersten Geraden

2) identisch: Die beiden parallelen Geraden haben einen gemeinsamen Stützvektor. Wieder werden beide kollinear sein, also wie oben ist z.B. der Stützvektor der 2.Geraden das k-fache des entsprechenden der 1.Geraden

3) Schnittpunkt: Der gemeinsame Stützvektor liegt auf beiden Geraden und dient als Schnittpunkt. Ändere den Richtungsvektor einer Geraden

4) Windschief: Der Schnittpunkt darf nicht auf beiden Geraden liegen, muß daher für eine der Geraden verändert werden. Zudem sind die Geraden nicht mehr parallel

Ich hoffe, das hilft etwas, die Vorschläge sind diskussionswürdig

Da war ich wieder zu langsam - hat trotzdem Spaß gemacht

PS: bei identisch und Stützvektoren hat sich der RF von oben eingeschlichen, Idee ist aber ok.
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lisa89


dazu hab ich dann folgende Gleichungen aufgestellt:

r*b -3*s = c-1
3*r -1*s = -a
4*r - (4/3)*s=1

ich weiß ja dass es nur eine Lösung geben darf, nur wie find ich die ? Helft mir bitte unglücklich


Ichhab die letzte Gleichung nach r aufgelöst

r= (1/4) + (1/3)*s

dann hab ich das für r in die zweite Gleichung eingesetzt

und dann hab ich folgendes erhalten

0,75 + s = -a

->
s= a + 0,75

dann hab ich mir überlegt das a=0 sein muss damit die Stützvektoren identisch oder linear abhängig werden

also wär ein schnittpunkt gegeben für a = - 0,75


oder???
0,75-s=0
knups Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, aber es ist schwierig, deine Rechnungen nachzuvollziehen. Wir haben offensichtlich unterschiedliche Lösungswege. Vielleicht doch mal meinen Text lesen??
Deine ersten Ergebnisse b=9 und d = 4/3 sind richtig,
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt muss ja eine Läsung rauskommen wenn die einen Schnittpunkt haben, unenedlich viele wenn die Geraden identisch sind und keine Lösung wenn sie paralell oder windschief sind unglücklich nur ich hab leider keine ahnung wie das mit dem Lösen das LGS geht.


Offensichtlich möchte Lisa den Weg über das LGS gehen und sie hat ja auch schon wunderbar alle Fälle genannt. Ich verstehe nicht warum man dann nicht auch diesen Weg weiter verfolgt:

br-3s=c-1 (I)

3r-s=-a (II)

4r-ds=1 (III)

Aus (II) folgt s=3r+a

Eingesetzt in (I) und (III) folgt

br-9r-3a=c-1 <=>

und

4r-3dr-ad=1 <=>

Mit den beiden letzten Gleichungen für r lassen sich nun alle von Lisa vorgeschlagenden Fälle ablesen bzw berechnen.

1) Zähler UND Nenner werden null

2) Zähler ungleich null UND Nenner gleich null

3) Zähler wird null UND Nenner ungleich null

4) Zähler UND Nenner ungleich null

Nun muss man sich mal überlegen welcher Fall zu welcher gegenseitigen Lage der Geraden passt.
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gegenseitige Lage von Geraden aufgabe mit variablen
Zitat:
Original von knups

2) identisch: Die beiden parallelen Geraden haben einen gemeinsamen Stützvektor. Wieder werden beide kollinear sein, also wie oben ist z.B. der Stützvektor der 2.Geraden das k-fache des entsprechenden der 1.Geraden



Zitat:

Original von Lisa89
identisch :
richtungsvektoren müssen linear abhängig sein
stützvektoren müssen linear abhängig sein


Wie kommt ihr nur darauf? Die Stützvektoren können identisch sein müssen es aber nicht und sind in der Regel (außer bei Ursprungsgeraden) auch nicht kolliner.
Bedingung für Idendität ist neben parallelen RVs, dass Stützvektor 1 auf der Geraden 2 liegt, bzw. V= SV2 -SV1 ist kollinear zum RV.

SV2 -SV1=muss kollinear zu RV1sein
knups Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gegenseitige Lage von Geraden aufgabe mit variablen
@frank09

"Stützvektor 1 auf der Geraden 2 liegt"????
Lisa89 Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlich gesagt bin ich jetzt total verwirrt LOL Hammer
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre ich auch wenn ich das alles hier so lese, denn weder knups noch frank09 verfolgen deinen vorgeschlagenen Weg weiter und sie verlieren sich eher in allgemeinen Diskussionen über die Lage der Geraden zueinander anstatt auf das Wesentliche, nämlich der Bezug zum LGS !

Insbesondere der erste Beitrag in diesem Thread von knups ist in meinen Augen mehr als verwirrend und auch desöfteren einfach falsch in der Anwendung der Begriffe.

Entscheide selbst welchen Weg du nun weiter verfolgen willst.
Der Standardweg ist jedenfalls der, den ich dir schon geliefert habe.
Aber da du dazu auch keine Stellung genommen hast gehe ich davon aus, dass dich das nicht weiter interessiert.

Gruß Björn
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "Stützvektor" meine ich den Punkt, auf den der Stützvektor zeigt, also den Aufpunkt. Der Stützvektor zeigt auf einen beliebigen Punkt auf der Geraden.
D.h. P1(1|a|2) liegt auf g und P2(c|0|3) liegt auf h. Wenn nun P1 die Geradengleichung von h erfüllt, teilen sich beide Geraden diesen Punkt. Wenn dazu noch die RVs parallel sind, sind die Geraden identisch.
Wenn gelten soll:
S1=S2+r*RV ist das gleichbedeutend mit: S1-S2=r*RV, d.h. S1-S2 ist kollinear zu RV. In unserem Fall hieße das:

aus der dritten Koordinate ergibt sich:

Dann wären sie identisch, wenn z.B. c=3 echt parallel (mit b=9,d=4/3)
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