Differentialgleichung für senkrechten Wurf

04.06.2009, 17:36	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung für senkrechten Wurf Hi! Sicherlich einfache Frage, bin aber mit der Angabe im Text nicht ganz vertraut... Mangelnde Physikkenntnisse Wir schießen einen Fußball senkrecht von Erdboden aus nach oben mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s. Gesucht ist die max. Höhe unter Berücksichtigung des Luftwinderstandes, der proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist und bei einer Geschwindigkeit von 1 m/s eine Verzögerung von 0,02m/s² bewirkt. Letztere Angabe verwirrt mich. Nun aber: Ist x(0)=0 und $\begin{eqnarray} \dot x(t)=20 \end{eqnarray}$ so lautet die Differentialgleichung nach dem Newtonschen Gesetz $\begin{eqnarray} m\ddot x(t)=-mg-\rho v^2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \dot v=-g-\frac{\rho}{m}v^2 \end{eqnarray}$ . Die Differentialgleichung kann man ja lösen. Wie berücksichtige ich nun aber letztere Angabe??? Mein Prof. meinte, dass ich für $\begin{eqnarray} \frac{\rho}{m} \end{eqnarray}$ einfach 0,02 einsetze. Aber warum? Wie arbeite ich das vernünfitig ein? An sich ist ja Dgl. lösbar, Anfangswerte einsetzen, fertig. Nur mein $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ brauche ich noch... Danke für eure Denkanstöße
04.06.2009, 17:57	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung für senkrechten Wurf Das ist nun wirklich eine merkwürdige Frage. $\begin{eqnarray} -\frac{\rho}{m}v^2 \end{eqnarray}$ st offensichtlich die zu zum Quadrat der Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} (v^2) \end{eqnarray}$ proportionale Verzögerung mit der Proportionalitätskonstanten $\begin{eqnarray} \frac{\rho}{m} \end{eqnarray}$ . Und die soll laut Aufgabe 0,02 m/s² sein.
04.06.2009, 19:32	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung für senkrechten Wurf Hab ich mir ja fast gedacht. Wollte einfach nur mal sicher gehen... Vielen Dank.
19.01.2011, 05:22	Alberich	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon etwas angestaubt der Thread... naja, egal. Die Konstante $\begin{eqnarray} \rho \end{eqnarray}$ hat die Dimension [kg/m] und fasst Eigenschaften des Körpers und des umströmenden Mediums zusammen. Es ist $\begin{eqnarray} \rho = \frac{1}{2} c_{w} \phi A \end{eqnarray}$ Dabei sind: $\begin{eqnarray} c_{w} \end{eqnarray}$ : Widerstandsbeiwert (dimensionslos) (Kugel ~0,45, Fußball ~0,2) $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ : Dichte des Mediums (internationale Standardatmosphäre: Dichte auf Meereshöhe $\begin{eqnarray} 1,225 \frac{kg}{m^3} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ : angeströmte Stirnfläche Ein offizieller FIFA-Fußball hat eine Masse zwischen 0,41kg und 0,45kg sowie einen Umfang zwischen 0,68m und 0,7m. Damit wird für einen Fußball ungefähr $\begin{eqnarray} \rho = 0,0046 \frac{kg}{m} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\rho}{m} = 0,011 \frac{1}{m} \end{eqnarray}$ Da hat der Professor wohl mit einem Widerstandsbeiwert für eine Kugel gerechnet, ein Fußball ist aber keine perfekte Kugel. Die vielen Nähte die die einzelnen Lederstücke zusammenhalten sorgen beim Flug durch Luft schnell für eine turbulente Grenzschicht und damit für eine kleinere Wirbelschleppe. Dies bewirkt einen deutlich besseren Widerstandsbeiwert als ihn eine perfekte Kugel hat (vgl. die vielen kleinen Dellen auf einem Golfball). Der Ansatz $\begin{eqnarray} m \frac{dv}{dt} = - mg - \rho v^2 \end{eqnarray}$ für den aufsteigenden Ball verwendet als zusätzlich zur Erdanziehung bremsende Kraft die newtonsche Reibung, welche quadratisch in der Geschwindigkeit ist. Für kleine Geschwindigkeiten kann näherungsweise auch die stokessche Reibung verwendet werden. $\begin{eqnarray} m \frac{dv}{dt} = - mg - \beta v \end{eqnarray}$ Hier ist die bremsende Kraft proportional zur Geschwindigkeit.
19.01.2011, 06:17	Alberich	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder andersherum, mit dem in der Aufgabe genannten Zahlwert: Die Verzögerung durch Luftreibung bei einer Geschwindigkeit von $\begin{eqnarray} 1 \frac{m}{s} \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} 0,02 \frac{m}{s^2} \end{eqnarray}$ betragen. Die Verzögerung wird durch $\begin{eqnarray} \frac{\rho}{m} v^2 \end{eqnarray}$ beschrieben. Einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac{\rho}{m} (1 \frac{m}{s}) ^2 = 0,02 \frac{m}{s^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\rho}{m} \frac{m^2}{s^2} = 0,02 \frac{m}{s^2} \end{eqnarray}$ Jetzt sieht man direkt: $\begin{eqnarray} \frac{\rho}{m} = 0,02 \frac{1}{m} \end{eqnarray}$

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