Quadrat integrieren ... schwerer als gedacht ;)

04.06.2009, 19:56

guestg

Quadrat integrieren ... schwerer als gedacht ;)

Hi, ich hänge an einer Aufgabe. Und zwar habe ich $\begin{eqnarray*} \int_{G}^{}~(x^2+y^2)~d(x,y) \end{eqnarray*}$
Dabei soll aber nur der Bereich für |x|>1 und |y|>1 integriert werden. Dadurch entsteht ein Einheitskreis mit einem Quadrat innen drinne, den man beim Flächeninhalt nicht mitzählen darf. Natürlich könnte ich Integral-Kreis minus 4*x*y rechnen, aber war nicht Sinn der Aufgabe!

Mit dem Kreisintegral bin ich fertig!
Ich hab das dann beim Viereck so versucht: $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}~x*y~dxdy \end{eqnarray*}$ , aber da kommt nur immer 1 raus ??? Aber wieso eigentlich? Ich Teile die Integrale sogar in die Grenzen "-1 bis 0" und "0 bis 1" auf!!!
Wo liegt denn hier eigentlich mein Fehler, oder wie sieht sonst der Ansatz aus??
Kann mir jemand mal helfen?

04.06.2009, 20:21

Leopold

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RE: Quadrat integrieren ... schwerer als gedacht ;)

Zitat:

Original von guestg
|x|>1 und |y|>1

Dieser Bereich ist unbeschränkt. Bitte Aufgabenstellung korrigieren!

04.06.2009, 20:27

guestg

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$\begin{eqnarray*} |x| \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y| \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq 2 \end{eqnarray*}$

so, jetzt müsste es stimmen, danke für den Hinweis!

04.06.2009, 20:49

Leopold

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Das ist immer noch unverständlich. Was sind denn die logischen Verknüpfungen zwischen den Bedingungen?

04.06.2009, 21:03

guestg

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Hm? Logische Verknüpfungen?? Also ich versuchs nochmal zu erklären:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\leq 2 \end{eqnarray*}$ ... das stellt einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r=\sqrt(2) \end{eqnarray*}$ dar.
Es soll jezt de Fläche des Kreises Integriert werden. Integral mit den parametern(Winkel,Radius).
Jetzt sollen aber nur bestimmte Bereiche Integriert werden unter den Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} |x| \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y| \geq 1 \end{eqnarray*}$

Das heißt, es muss der Kreis integriert werden und die "inneren Grenzen", die ja nicht mitzählen, wegen den oberen beiden Bedingungen, müssen subtrahiert werden.
Wenn man die "inneren Grenzen" des Kreises nicht mitintegriert, entsteht ein Quadrat mit den kantenlängen x=y=2.

Dieses Quadrat ist IN dem Kreis! Die Quadratfläche soll nicht integriert werden, sondern nur die Flächen, die zwischen Quadrat und Kreis sind.

Ist es jetzt logisch verknüpft?? Ansonsten, wei ich auch nicht mehr, wie ich es erklären soll.

04.06.2009, 21:41

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Verbal ja. Symbolmäßig geht es so:

Das Innere des Quadrats ist $\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y) \Bigm| |x| < 1 \wedge |y| < 1\right\} \end{eqnarray*}$ , das Gegenteil davon (also äußeres + Rand):

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y) \Bigm| |x| < 1 \wedge |y| < 1\right\}^c = \left\{ (x,y) \Bigm| |x| \geq 1 \vee |y| \geq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Das wiederum wird geschnitten mit dem Kreisinneren

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y) \Bigm| |x| \geq 1 \vee |y| \geq 1\right\} \cap \left\{ (x,y) \Bigm| x^2 + y^2 \leq 2\right\} = \left\{ (x,y) \Bigm| (|x| \geq 1 \vee |y| \geq 1) \wedge x^2 + y^2 \leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

Das meinte Leopold mit logischer Verknüpfung. So wie du es erst geschrieben hast, könnte man als Integrationsgebiet ja auch die vierpunktige Menge

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y) \Bigm| |x| \geq 1 \wedge |y| \geq 1 \wedge x^2 + y^2 \leq 2 \right\} = \left\{ (-1,-1) , (-1,1) , (1,-1), (1,1) \right\} \end{eqnarray*}$

annehmen, wobei die Betrachtung eines Integrals über diesem "etwas dünnen" Integrationsgebiet natürlich Null ergibt, mit welchem Integranden auch immer man dieses Riemann-Integral betrachten möge. Augenzwinkern

04.06.2009, 22:56

guestg

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Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} \left\{ (x,y) \Bigm| (|x| \geq 1 \vee |y| \geq 1) \wedge x^2 + y^2 \leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

Das meinte Leopold mit logischer Verknüpfung.

Achso, danke dann!
Ja, aber was hilft mir das jetzt beim Integriern? Ich wollte ja das Integral des Quadrates bestimmen und daraus die Fläche berechnen. Aber geht ja net.

05.06.2009, 11:16

Leopold

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Der Integrand $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ geht bei einer Vorzeichenänderung von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in sich über. Der Integrationsbereich ist aber symmetrisch zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - wie auch zur $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Achse. Es genügt daher, über das Segment zu integrieren, das im I. und IV. Quadranten liegt, und zu vervierfachen. Beachte, daß hier kein Flächeninhalt berechnet wird, sondern das Volumen unter dem Graphen der Funktion $\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ über dem Integrationsgebiet (so hast du das Integral jedenfalls angegeben). Es empfehlen sich Polarkoordinaten. Das gesuchte Volumen ist dann:

$\begin{eqnarray*} V = 4 \int \limits_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \int_{\text{?}}^{\text{?}} r^3 ~\dd r \right)~\dd t \end{eqnarray*}$

Für die Grenzen des inneren Integrals muß man ein bißchen Trigonometrie betreiben (Schulstoff). Beachte dann später

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\cos^4 t}~\dd t = \frac{1 + \tan^2 t}{\cos^2 t} ~\dd t \end{eqnarray*}$

Die Substitution $\begin{eqnarray*} u = \tan t \end{eqnarray*}$ hilft.

EDIT
Beim nochmaligen Nachdenken erscheint es mir in der Tat einfacher, die Integrale über den Kreis und das Quadrat getrennt zu berechnen. Beim ersten sind Polarkoordinaten angebracht, die Grenzen sind einfach zu sehen. Und beim zweiten Integral rechne man direkt:

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{|x| \leq 1, |y| \leq 1} \left( x^2 + y^2 \right)~\dd (x,y) = \int \limits_{|x| \leq 1, |y| \leq 1} x^2~\dd (x,y) \ + \ \int \limits_{|x| \leq 1, |y| \leq 1} y^2~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \int \limits_{|x| \leq 1, |y| \leq 1} x^2~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$

Diese Vereinfachung ist aus Symmetriegründen möglich.

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