Gruppenordnung von Elementen

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04.06.2009, 19:57	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenordnung von Elementen Hi, ich hätte mal wieder eine kurze Frage! Ich habe eine Gruppe mit dem neutralen Element $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a,b \in G \end{eqnarray}$ . Ich weiß auch noch, dass $\begin{eqnarray} a^2=e, a^{-1}b^2a=b^3 \end{eqnarray}$ ist. Ich soll nun zeigen, dass folgt $\begin{eqnarray} b^5=e \end{eqnarray}$ . Ich habe bis jetzt versucht die Formel oben irgendwie umzuwandeln und hatte mir überlegt dass ich $\begin{eqnarray} b,b^2,b^3,b^4=e \end{eqnarray}$ zum Widerspruch bringe, aber irgendwie komme ich momentan gar nicht weiter weil ich nicht weiß wie ich mit der Gleichung rechnen soll. Wikipedia und Google hat mich bis jetzt auch noch nicht schlauer gemacht! ein kurzer Tipp wäre super!! LG F
04.06.2009, 23:19	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst mal um es dir leichter zu machen: $\begin{eqnarray} a = a^{-1} \end{eqnarray}$ (Warum?) Nun drücke aus der gebenen Gleichung $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ explizit aus. Und berechne $\begin{eqnarray} b^4 \end{eqnarray}$ . Dann überleg mal ein bisschen
04.06.2009, 23:25	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich nehme mal an, dass $\begin{eqnarray} a,b\neq e \end{eqnarray}$ gelten soll?! Diese Fälle lassen sich (bis auf $\begin{eqnarray} a=e,b\neq e \end{eqnarray}$ ) nämlich aus den Gleichungen nicht ausschließen.
04.06.2009, 23:30	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre wie ich das sehe ein möglicher Fall, für den die Aussage trivialerweise gelten würde. Da man aber zeigen soll, dass $\begin{eqnarray} b^5=e \end{eqnarray}$ für beliebige a,b folgt, braucht man diesen Fall ja nicht auszuschließen
04.06.2009, 23:32	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup, hast recht. Das ist das Zeichen dafür, dass ich schlafen gehen sollte.
05.06.2009, 07:31	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a a^{-1} = e \end{eqnarray}$ ist klar weil es das inverse zu a ist! wenn ich die Gleichung jetzt nach $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ umstelle erhalte ich $\begin{eqnarray} b^2 = ab^3a^{-1} \end{eqnarray}$ . aber wie soll ich denn jetzt auf $\begin{eqnarray} b^4 \end{eqnarray}$ kommen? ich hätte doch entweder links oder rechts noch ein $\begin{eqnarray} b^2 \end{eqnarray}$ hängen, also $\begin{eqnarray} b^4 = b^2ab^3a^{-1} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b^4 = ab^3a^{-1}b^2 \end{eqnarray*}$ oder sehe ich das irgendwie falsch? LG F
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05.06.2009, 09:56	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b^2 = ab^3a \end{eqnarray}$ . Verwende doch mal die rechte Seite
05.06.2009, 10:00	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.. was bedeutet verwenden?!?! icvh habe versucht irgendwie geschickt eine 0 zu addieren oder $\begin{eqnarray} a~~bzw.~~ a^{-1} \end{eqnarray}$ zu multiplizieren aber irgendwie komme ich da nicht weiter..!!
05.06.2009, 10:02	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b^2 \cdot b^2 = ab^3a \cdot ab^3a = ? \end{eqnarray}$
05.06.2009, 10:02	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
das darf man einfach so machen? $\begin{eqnarray} b^4=ab^6a^{-1}??? \end{eqnarray}$
05.06.2009, 10:05	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte man das nicht dürfen? Weißt du jetzt wie es weitergeht ?
05.06.2009, 10:12	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
eigentlich nicht so richtig!
05.06.2009, 10:17	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} b^4 = ab^6a = a(b^2)^3a = ? \end{eqnarray}$
05.06.2009, 10:20	Ripper1986	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man.. da stand ich ein bisschen auf dem schlauch, ich habe es jetzt ;-) vielen dank für die hilfe felix!!!! LG F

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