Abschätzen einer Norm

05.06.2009, 17:16

Annie2009

Abschätzen einer Norm

Hallo,
gegeben habe ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} x_0\in\mathbb R^n , r>0 , \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} B(x_0,r) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} := \{ x\in\mathbb R^n: ||x-x_0|| < r \} \end{eqnarray*}$
Es sei $\begin{eqnarray*} f: B(x_0,r) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$
eine differenzierbare Funktionen, deren Ableitung zur Konstante $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig sei.

Nun soll ich eine Abschätzung vornehmen:
es ist zu zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B(x_0,r) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} ||f(x) - f(y) - f'(y)(x-x_0)|| \leq \alpha ||x-y||^2 \end{eqnarray*}$

ich habe mehrfacht versucht es abzuschätzen, aber zu dem gewünschten ergebnis bin ich nicht gekommen.

Ich wollte nutzen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} ||f'(x)-f'(y)|| \leq \alpha ||x-y|| \end{eqnarray*}$ wegen der Lipschitzstetigkeit der Ableitung, aber das hat mich nich weiter gebracht.

Kann ich denn über f(x) und f(y) noch etwas genaueres aussagen? Also liefert mir die Lipschitzstetigkeit der Ableitung noch mehr Informationen?

05.06.2009, 17:51

Annie2009

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Hier mein bisheriger Rechenweg, vlt verbirgt sich ja schon da ein Fehler?

$\begin{eqnarray*} ||f(x) - f(y) - f'(y)(x-x_0)|| \leq ||f(x) - f(y)|| + ||f'(x)-f'(x)-f'(y)|| ||x-x_0|| \leq ||f'(x) - f'(y)|| \alpha ||x-y||^2 \end{eqnarray*}$

nun ist doch aber $\begin{eqnarray*} ||f'(x)-f'(y)|| \geq 0 \end{eqnarray*}$ und somit komm ich doch nich auf die gewünschte Abschätzung...

06.06.2009, 00:04

Mathespezialschüler

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Hallo!
Ist die Norm genauer spezifiziert?

06.06.2009, 10:03

Annie2009

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Nein, mehr hab ich nicht gegeben, wobei doch auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eh alle Normen äquivalent sind. Ist es dann nicht beliebig, für welche Norm die geforderte Abschätzung gilt?

06.06.2009, 15:21

Annie88

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Ich hab einen kleinen Fehler in der Aufgabenstellung:
also es ist zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} ||f(x) - f(y) - f'(y)(x-y)|| \leq \alpha ||x-y||^2 \end{eqnarray*}$

und meine Umformung ist auch falsch, weil die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ja eine lineare Abbildung ist...
ich weiß aber noch nicht so richtig, wie ich dann $\begin{eqnarray*} f'(y)(x-y) \end{eqnarray*}$ umformen kann.

06.06.2009, 16:18

Mathespezialschüler

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Nein, es ist nicht unbedingt egal, welche Norm man wählt, denn die Normen sind zwar alle äquivalent, aber das bedeutet ja nur, dass sie den gleichen Konvergenzbegriff bzw. die gleiche Topologie erzeugen. Die wirklichen Abstände können aber verschieden groß sein und bei dieser Aufgabe sind Konstanten ja nicht unwichtig, denn es soll ja wirklich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite stehen und nicht irgendeine Konstante.

Nungut, die Norm ist aber im Prinzip egal, solange man davon ausgeht, dass die Operatornorm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ , die man für die Ableitung benutzt, verträglich ist mit der gegebenen Norm auf dem Raum selbst, d.h. es soll stets $\begin{eqnarray*} \|Av\|\leq \|A\|\cdot \|v\| \end{eqnarray*}$ für alle linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} A:\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und alle Vektoren $\begin{eqnarray*} v\in\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gelten.

In diesem Fall gilt dann

$\begin{eqnarray*} \|f(x)-f(y)-f'(y)(x-y)\|=\left\|\int_0^1~f'(y+t(x-y))(x-y)~\mathrm dt-\int_0^1~f'(y)(x-y)~\mathrm dt\right\|=\ldots \end{eqnarray*}$ .

Siehst du, wie es weiter geht?

07.06.2009, 12:12

Annie88

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Also ehrlich gesagt, verstehe ich nicht mal deinen ersten Schritt...also die Umformung in ein Integral. Und das ist doch dann auch nicht nur "einfache" Integration oder? also doch auch mehrdimensionale Integration oder? die hatten wir nämlich noch gar nicht und ich glaube, dass ich diesen Ansatz also gar nicht verwenden darf. Gibt es noch eine andere Möglichkeit?

Aber trotzdem schon mal vielen Dank für die Mühe smile

07.06.2009, 15:14

WebFritzi

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Komponentenweise Integration wirst du wohl noch hinkriegen, oder?

07.06.2009, 16:00

Annie88

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Sehr freundlich deine Nachfrage...Nur so viel, ich darf diesen Ansatz eh nicht verwenden, deine Frage stellt sich also gar nicht.

Wie gesagt, mein Problem besteht darin, dass ich
$\begin{eqnarray*} f'(y)(x-y) \end{eqnarray*}$
nicht schön umformen kann und ich wäre sehr froh, wenn mir dabei jemand helfen könnte.

07.06.2009, 16:35

Mathespezialschüler

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Was Webfritzi meint: Dieses Integral ist gar nicht so schlimm, es ist im Prinzip nur ein Vektor mit mehreren eindimensionalen Integralen. Und damit darfst du ja bestimmt rechnen. Also schreibe $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in Komponenten, d.h.

$\begin{eqnarray*} f(u)=\begin{pmatrix} f_1(u) \\ f_2(u) \\ \vdots \\ f_n(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} f'(u)=\begin{pmatrix} f_1'(u) \\ f_2'(u) \\ \vdots \\ f_n'(u) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} f_j'(x) \end{eqnarray*}$ Zeilenvektoren sind. Betrachte dann z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi_1(t):=f_1(x+t(y-x)) \end{eqnarray*}$ . Diese bildet jetzt von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ab! Außerdem ist sie stetig differenzierbar, also folgt mit dem Haupsatz

$\begin{eqnarray*} \varphi_1(1)-\varphi_1(0)=\int_0^1~\varphi_1'(t)~\mathrm dt \end{eqnarray*}$ .

Durch Einsetzen auf beiden Seiten, wobei man für die Ableitung die Kettenregel braucht, bekommt man

$\begin{eqnarray*} f(y)-f(x)=\int_0^1~f_1'(x+t(y-x))(y-x)~\mathrm dt \end{eqnarray*}$ .

Weiterhin gilt trivialerweise (man integriert nur die Konstante!)

$\begin{eqnarray*} f_1'(y)(y-x)=\int_0^1~f_1'(y)(y-x)~\mathrm dt \end{eqnarray*}$ .

Durch Differenzbildung ergibt sich

$\begin{eqnarray*} f(y)-f(x)-f_1'(y)(y-x)=\int_0^1~f_1'(x+t(y-x))(y-x)~\mathrm dt-\int_0^1~f_1'(y)(y-x)~\mathrm dt=\int_0^1~\left(f_1'(x+t(y-x))-f_1'(y)\right)(y-x)~\mathrm dt \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du jetzt alles wieder zusammen packst, kommst du auf

$\begin{eqnarray*} f(y)-f(x)-f'(y)(y-x)=\begin{pmatrix} \int_0^1~\left(f_1'(x+t(y-x))-f_1'(y)\right)(y-x)~\mathrm dt \\ \int_0^1~\left(f_2'(x+t(y-x))-f_2'(y)\right)(y-x)~\mathrm dt \\ \vdots \\ \int_0^1~\left(f_n'(x+t(y-x))-f_n'(y)\right)(y-x)~\mathrm dt \end{pmatrix}= \int_0^1~\left(f'(x+t(y-x))-f'(y)\right)(y-x)~\mathrm dt \end{eqnarray*}$ ,

wobei der letzte Ausdruck einfach durch den davor definiert wird, d.h. indem man einfach komponentenweise integriert. Durch eine einfache Rechnung bekommt man jetzt, dass dies gleich

$\begin{eqnarray*} \left(\int_0^1~\left(f'(x+t(y-x))-f'(y)\right)~\mathrm dt\right)\cdot (y-x) \end{eqnarray*}$

ist, wobei jetzt links eine Matrix steht. Und nun kann man sich mal die Norm von dem ganzen Ding angucken, die angesprochene Verträglichkeit und die Dreiecksungleichung für Integrale ausnutzen und dann steht es im Prinzip schon da.

07.06.2009, 21:36

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Was Webfritzi meint: [...]

Worauf man auch selber kommen kann. Auch wenn hinter meinen Beitrag noch ein Augenzwinkern

-Smiley gehört hätte, kann man ihn doch als Hinweis verstehen. Ich würde das jedenfalls machen, denn wenn ich in einem Forum eine Frage stelle, bin ich froh über jeden Hinweis - in welcher Form auch immer er daherkommt. Dann versuche ich auch, ihn zu verstehen. Und das wurde hier offenkundig nicht getan.

07.06.2009, 23:38

zahlenstupser

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Kennst du den Schrankensatz. Mit ihm lässt sich das recht leicht und direkt beweisen.

07.06.2009, 23:56

WebFritzi

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Wie denn?

09.06.2009, 14:17

Annie88

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also vielen dank für eure hilfe smile

also ich habe jetzt eine lösung für die abschätzung gesehen und dort wird der mittelwertsatz verwendet...

man definiert $\begin{eqnarray*} g(x) := f(x) - f'(y)(x-y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi := tx +(1-t)y \end{eqnarray*}$
und dann ist mit dem MWS
$\begin{eqnarray*} ||f(x) - f(y) - f'(y)(x - y)|| = ||g(x)- g(y)|| \leq ||g'(\xi)(x- y)||\leq||x - y|| ||f'(\xi) -f'(y)|| \leq \alpha||x - y||||\xi- y|| \leq \alpha||x - y||^2 \end{eqnarray*}$

...bin ich nur leider nicht drauf gekommen...

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