Grenzwert e^k

05.06.2009, 20:40	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert e^k Einen schönen Freitag Abend euch allen Ich bin soeben auf folgende Formel gestoßen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{k}{n})^n =e^k \end{eqnarray}$ und würde diesen Grenzwert gerne beweisen. Er wird bestimmt aus der Definition der Euler'schen Zahl $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } (1+ \frac{1}{n})^n =e \end{eqnarray}$ abgeleitet worden sein aber ich hab' leider keinen Plan wie Könnt' mir jemand ein Tipp geben?
05.06.2009, 20:45	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Falle natürlicher Zahlen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ kannst du von der Folge $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n = \left( 1 + \frac{k}{n} \right)^n \end{eqnarray}$ zunächst die Teilfolge $\begin{eqnarray} (a_{km})_{m=1,2,\ldots} \end{eqnarray}$ betrachten: Für die gilt nämlich $\begin{eqnarray} a_{mk} = \left( 1 + \frac{k}{mk} \right)^{mk} = \left( \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^m \right)^k \end{eqnarray}$ Klar, wie's weitergeht?
05.06.2009, 20:57	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Rest ist klar. Der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{m \to \infty } (1+ \frac{1}{m})^m \end{eqnarray}$ ist ja gerade $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ . Wow, auf sowas muss man auch erst einmal kommen Kanntest du den Beweis schon, oder ist dir die Idee einfach so aus dem Stehgreif gekommen ???
05.06.2009, 21:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist aber leicht ins Staunen zu versetzen. Übrigens: Die eigentliche Konvergenz der Folge ist noch nachzuweisen. Erst wenn das geschehen ist, greift die obige Überlegung zur Bestimmung des Grenzwertes.
05.06.2009, 21:12	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, das ist schlicht Bewunderung für eine Person, der die abstrakte Denkkunst ein Kinderspiel zu sein scheint... Ach und vielen Dank für die Hilfe (hatte das vorhin vergessen)

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