Bernoulli Experiment [Ehem.: Bitte schnelle Hilfe !! ( ;] |
| 06.06.2009, 13:07 | ciana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Bernoulli Experiment [Ehem.: Bitte schnelle Hilfe !! ( ;] a) Unter welcher Voraussetzung ist dies ein Bernoulli-Versuch ? b) Begründe : Wenn die Strecke 3,8 km lang ist, wird der Kilometerzähler mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % eine Differenz von 3 km, mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % eine Differenz von 4 km anzeigen. c) Bei 84 Fahrten zeigte der Kilometerzähler 21 mal 5 km an und 63 mal 6 km an. Schätze die Streckenlänge. d) Wie oft muss die Strecke zurückgelegt werden, um ihre Länge auf 50 m genau zu bestimmen 
Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % )Also vll ist die Lösung auch ganz leicht, aber ich hab einfach keine Vorstellung )= Wär super wenn mir jemand helfen könnte ; ) Ich könnte mir denken, dass es was mit den Wahrscheinlichkeiten zu tun hat... Danke : ) Edit mY+: Sind schon Hilferufe im Titel nervtötend, wie erst ein Titel, der nur aus Hilferufen besteht! SO NICHT! Die Überschrift soll das Thema fachlich kennzeichnen!! |
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| 06.06.2009, 18:31 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Man könnte es so sagen: der Kilometerstand "stimmt" oder er "stimmt" nicht. Stimmen heißt, dass er den nächsten ganzen Kilopmeter anzeigt, also er fährt z.B. 4,2 km und der Zähler zeigt 4 an. Nicht stimmen: er fährt 4,8 km und der Zähler zeigt nicht 5 sondern immmer noch 4km an. das wäre der Fall wenn der Zähler immer erst beim ganzen Kilometer umspringt, also bei 3,99 springt er erst auf 4 um und nicht schon bei 3,5km. b) könnte man so verstehen, dass der Zähler irgendwann zwischen 3 und 4 gefahrenen km von 3 auf 4 "umspringt" wobei der "Bereich" von 3-3,8 entsprechend größer ist als von 3,8-4 c)und d) stell erstmal eigene Überlegungen an. |
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| 06.06.2009, 18:42 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit einer solchen Überschrift bekommst du eher wenig Hilfe ! Zum Einen sagt sie gar nichts über das Problem, womit Interesse bei Vielen wegfällt. Zum anderen sehen wir das hier nicht gerne, wenn im Titel um Hilfe gerufen wird. Schon gar nicht, wenn um Eile gerufen wird. Hier stellt sich niemand über die anderen und befasst sich "sofort" mit dir, nur, weil du es eilig hast. Wenn du etwas nicht rechtzeitig machst, ist das dein Bier. 
Und ich bin nicht der Einzige, dem die Lust am Helfen bei sowas vergeht ! air |
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| 07.06.2009, 10:44 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine ganz interessante Aufgabe, insbesondere a): Beim Bernoulli-Experiment wird vorausgesetzt, dass es keine Abhängigkeiten zwischen den Einzelversuchen gibt. Wie sieht es bei der vorliegenden "Kilometerstandsmethode" mit derartigen Abhängigkeiten aus? Man denke dabei insbesondere an Messwerte, die an aufeinander folgenden Werktagen genommen werden in einem Szenario, wo das Auto ausschließlich für den Arbeitsweg benutzt wird... |
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| 07.06.2009, 12:41 | ciana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also erstmal danke für die antworten !! : ) ich hätte auch nicht gedacht dass diese überschrift so negativ wirkt, das ist das erste mal dass ich etwas in ein forum schreibe ; ) also nicht falsch auffassen ! und unter zeitdruck stehe ich eigentlich gar nicht, bloß sitze ich schon soo lange an der aufgabe, die lösung interessiert mich hallt ; ) |
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| 07.06.2009, 13:25 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein "normaler" Kilometerzähler wird sicher nicht "irgendwann" zwischen den Kilometern umspringen. Doch ich denke, dass man das hier voraussetzen soll. Wenn ich z.B. 5,6 km fahre, dann würde der Zähler zu 40% (p=0,4) auf 5 und zu 60% (q=0,6) auf 6km stehen. Somit entspräche der Erwartungs-/Mittelwert genau der zurückgelegten Strecke. Mit den beiden WS, die man ja in c) ermitteln kann, ergibt sich nach n Fahrten eine Binomialverteilung. Daraus kann man dann auf 2 schließen. Dieses soll ja 0,05 betragen und begrenzt das Intervall, in dem sich 95% aller Werte befinden. |
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| 07.06.2009, 14:03 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ne, ich denke, die Aufgabe ist ein wenig anders gedacht! Der Kilomenterzähler misst die mit dem Fahrzeug insgesamt zurückgelegte Strecke exakt. Er zeigt aber nur die vollen km an. So funktionieren einfache Tachometer in PkW nun mal! 
Nehmen wir mal an, wir starten beim Stand 38.250 km Bei der Ankunft zeigt der Tacho 38.257 km. Dann haben wir 7 km zurückgelegt? Nicht unbedingt. Nehmen wir mal an, dass der "genaue" km Stand 38.250,9 km war und wir kamen bei 38.257,1 km an. Dann beträgt die genaue Weglänge 6,2 km. Wären wir nun beim Stand 38.250,1 losgefahren, dann wäre der km Stand bei der Ankunft 38.256,3 km gewesen und der Tacho hätte 38.256 km angezeigt. Wir würden jetzt "glauben", wir hätten nur 6 km zurückgelegt. Je nachdem, welchen Inhalt die nicht sichtbaren Nachkommestellen des Tachostandes haben, werden wir mal 6 und mal 7 km Weglänge messen. Wir können also das Messen einer bestimmten Weglänge nach diesem Verfahren als Zufallsexperiment auffassen. Der Ausgang dieses Experiments hängt von den unsichtbaren Nachkommastellen des Tachostandes ab. Es muss nur sichergestellt sein, dass der Stand der Nachkommastellen zufällig ist - das hat Arthur Dent bereits angemahnt. Der Wagen muss also für genügend viele verschiedene Fahrten genutzt werden, damit es keine Abhängkeiten gibt. Dann aber ist das Ganze ein Bernoulli Experiment, weil die Wahrscheinlichkeiten unveränderlich sind. Ist die Summe des Tachorestes zu Beginn der Fahrt + dem Tachorest am Ende der Fahrt < 1 dann wird die Distanz abgerundet. Andernfalls wird sie aufgerundet. Das ist die Antwort zu Teil a) der Aufgabe. Nun zu Teil b) Wenn die Distanz 3,8 km beträgt, und R1 der Tachorest zu Beginn der Fahrt ist, dann gilt doch folgendes: Wenn 0<= R1 < 0,2 ist, dann wird abgerundet. Ist 0,2 <= R1 < 1,0 dann wird aufgerundet. Mit einer Ws. von 20 % werden also 3 km angezeigt und mit 80 % Wahrscheinlichkeit werden 4 km angezeigt. Jetzt sollte man eigentlich die Aufgabe c) und d) mit Leichtigkeit lösen können ...
Grüße |
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| 08.06.2009, 00:34 | frank09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber nur ein wenig. Das Verhalten des Kilometerzählers habe ich ja schon beschrieben: ein "zufälliges" Umspringen auf den nächsten Wert irgendwann zwischen zwei gefahrenen km. BarneyG. reicht nun die plausible Erklärung dafür nach. Anm: Ich möchte nur vermeiden, dass du dich nicht mehr an meinen Lösungsansätzen für c) und d) orientierst (falls du nicht sowieso darauf gekommen wärst) |
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| 08.06.2009, 10:23 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das allein bewirkt aber noch lange nicht, dass es sich hier um ein Bernoulli-Experiment handelt.
Sehen wir uns das am Beispiel des von mir oben beschriebene Szenario an:
Sagen wir, der Arbeitsweg ist 3,8 km. 100 aufeinander folgende Fahrten dieses Arbeitsweges in diesem Szenario machen eine Wegstrecke von 380 km. Bei einem abrundenden Tacho ergäbe das genau 380km - mit deinem "zufällig umspringenden" Tacho zumindest einen der drei Werte 379, 380 oder 381 km. In einem tatsächlichen Bernoulli-Experiment würde aber folgendes gelten: Für die Einzelfahrt (Wegstrecke in km) gilt gemäß b) die Wahrscheinlichkeitsverteilung Für die Gesamtwegstrecke muss sich bei laut Bernoulli-Experiment angenommener Unabhängigkeit der mit ergeben. Für dieses ist nun . Also lediglich 29.2% statt der obigen 100%. Damit hat sich die Annahme, dass es sich bei den "zufällig umspringenden" Kilometerständen um ein Bernoulli-Experiment handelt, im negativen Sinne erledigt - zumindest im obigen Nutzungsszenario des Autos. 
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| 08.06.2009, 13:59 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um es gleich vorweg zu nehmen. Die Rechnung von Arthur Dent ist natürlich vollkommen richtig. Bei DIESEM Szenario handelt es sich nicht um ein Bernoulli Experiment. Deswegen gehen wir mal davon aus, dass das Fahrzeug für ganz verschiedene Fahrten derart genutzt wird, dass der "Rest" des Kilometerstandes als zufällig angesehen werden kann.Und unter dieser Annahme handelt es sich bei der Aufgabe dann schon um ein Bernoulli Experiment. Genau dies wurde ja wohl im ersten Teil der Aufgabe abgefragt. Wenn wir jetzt mit diesem Verfahren in 21 Fällen eine Entfernung von 5 km und in 63 Fällen eine Entfernung von 6 km messen, dann würde ich eine Entfernung von 5,75 km schätzen. Die (einfache) Rechnung will ich aber mal dem Fragesteller/der Fragestellerin zur Übung überlassen. Bis hierhin ist die Aufgabe aber noch Pillepalle. Denn nun geht es um die entscheidende Frage:
Und diese Frage ist dann nicht mehr ganz so trivial. Für Arthur Dent und andere Kenner der Materie sicher schon aber eben nicht für normale Sterbliche wie mich ... jemand, der zwar auch promoviert hat, aber eben nicht in Stochastik. Ich nehme hier nämlich außer Konkurrenz teil und suche nur spaßige Aufgaben zur geflissentlichen Ertüchtigung und zur geistigen Erbauung für mein Töchterlein, das in zwei Jahren Abitur schreiben wird! Und diese Aufgabe gefällt mir außerordentlich gut, wie man unschwer erkennen kann. Na, vielleicht ist ja einer der Koriphäen dieses Forums geneigt, entsprechende Lösungshinweise für den letzten Teil der Aufgabe hier einzustellen ...
Grüße |
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| 08.06.2009, 15:19 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dazu hat ja frank09 in knapper Form den Lösungsvorschlag gegeben:
Es geht darum, ein Konfidenzintervall für den Parameter p einer Binomialverteilung zu bestimmen. Aus der Umrechnung von p in Kilometerstand ergibt sich, dass p auf +-0,05 genau bestimmt werden soll, was +-50 m emtspricht. Exakte Konfidenzintervalle der Binomialverteilung können mittels der F-Verteilung bestimmt werden. Die ist aber meines Wissens nicht Schulstoff. Deshalb kann das nicht gemeint sein. Der Vorschlag von frank09 beruht darauf, die Binomialverteilung näherungsweise durch eine Normalverteilung zu ersetzen. Diese Normalverteilung hat die Parameter Die Näherung ist nach einer Faustformel für npq > 9 zulässig. Das Konfidenzintervall für den Mittelwert der Normalverteilung mit 95 % Sicherheit beträgt frank09 hat den 'Ingenieurwert' genommen. Diese Formel setzt voraus, dass das der Normalverteilung bekannt ist und nur aus der Stichprobe zu schätzen ist. Ist auch unbekannt, muss man mit der Studentverteilung arbeiten. Da die aber für genügend großes n wieder in die Normalverteilung übergeht und sie auch nicht zum Schulstoff gehört, darf wohl obige Formel verwendet werden. Wenn man nun die genannten Zutaten formelmäßig verrührt, bekommt man das gesuchte n, welches die geforderte Ganuigkeit ergibt. P. S. Trotz meiner Antwort bin ich keine Koryphäe für Statistik |
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| 08.06.2009, 16:31 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig, das hast du ja auch oben schon betont, in diesem Szenario ist alles Ok. Obwohl es in der Praxis höchst selten anzutreffen sein sollte, dass wirklich jeden Tag zusätzlich zum Arbeitsweg eine oder mehrere Zusatzfahrt(en) mit "schön gleichmäßig" zufällig verteilter Länge anfällt - genau das würde man nämlich hier brauchen...
Nur die Aussage von frank09 mit dem "zufälligen Umspringen" klang zumindest unterschwellig so, als könnte auch dieses Verhalten allein das ganze zu einem Bernoulli-Experiment machen. Um deutlich zu zeigen, dass dem nicht so ist, habe ich obiges Beispiel angeführt.
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| 08.06.2009, 16:59 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na, dann sind wir uns ja völlig einig!
Obwohl ich dann doch noch unbotmäßigerweise anmerken darf, dass es schon genügen dürfte, wenn nur die Nachkommastellen der zurückgelegten Strecken "schön gleichmäßig" verteilt wären.
Tja, irgendwie will mir das mit dem Verrühren nicht so recht gelingen. Und ich würde doch schon zu gern einmal eine solche Aufgabe exemplarisch durchrechnen, damit ich sie künftig verstehe: µ ist doch der Erwartungswert. Also µ = n*p = 5,75 Daraus erhalte ich p in Abhängigkeit vom gesuchten n (1) p = 5,75 / n Die Abweichung vom Standardwert darf maximal +- 0,05 betragen. Aufgrund des gewünschten Konfidenzintervalls erhalte ich dann µ +- 0,05 = µ +- 1,96 * sigma also (2) sigma = 0,05 / 1,96 Zusammen mit der Formel (3) sigma = sqrt (n * p * (1-p) ) erhalte ich dann aus (1), (2) und (3) die folgende Gleichung 0,05 / 1,96 = sqrt (n * (5,75/n) * (1 - 5,75/n)) Und wenn ich die nach n auflöse, dann liefert mir das ein n, das ich hier besser nicht einstelle!
Irgendwie habe ich deine freundlichen Hinweise wohl nicht so recht verstanden ...
Ich vermute mal, dass ich schon in Formel (1) einem gravierenden Irrtum erlegen bin ... Grüße |
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| 08.06.2009, 17:30 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann ganz konkret: p soll auf +-0,05 genau bestimmt werden. Also muss auf +-0,05n genau bestimmt werden. Aus dem Konfidenzintervall für folgt Jetzt noch einsetzen und man hat: Aus Teil c) der Aufgabe hat man p = ca. 0,75. Also: |
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| 08.06.2009, 18:54 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Recht vielen Dank für deine Hilfe, Huggy. Diese Rechnung habe ich jetzt nachvollziehen können. Der Ansatz mit meinem µ war dann wohl nicht so ganz das Gelbe vom Ei.
Grüße |
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