Quadraturformel mit 4 Unbekannten

06.06.2009, 14:46

D3fe4t

Quadraturformel mit 4 Unbekannten

Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Zitat:

Bestimmen Sie die Quadraturformel $\begin{eqnarray*} c_0 f(x_0) + c_1 f(x_1) \end{eqnarray*}$ so, dass sie exakt das Integral auf [-1,1] für alle Polynome vom Grad <= k berechnet, wobei k höchstmöglich sein soll.
also:
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} P(x) dx = c_0 P(x_0) + c_1 P(x_1) \end{eqnarray*}$
Welches k erhält man?
Tipp: zuerst nur Monome betrachten.

Ich hab jetzt hier auch schon rausgefunden, dass die Ordnung also k = 2n + 2 = 4 sein müsste, das hatten wir aber in der Vorlesung noch nicht.

Also hab ich ein paar Bedingungen aufgestellt:

für $\begin{eqnarray*} P(x) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} 1~dx = 2 = c_0 + c_1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} P(x) = x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} x~dx = 1 = c_0 x_0 + c_1 x_1 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} P(x) = x + 1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}x + 1~dx = 2 = c_0(x_0 + 1) + c_1(x_1 + 1) \end{eqnarray*}$

subtrahiert man jetzt die beiden unteren Gleichungen erhhält man $\begin{eqnarray*} 1 = c_0 + c_1 \end{eqnarray*}$ , was aber der ersten Gleichung widerspricht. Heißt das nicht eigentlich, dass k <= 0 ist?

Ich hoffe da ist jetzt kein absolut dummer Fehler drin...

06.06.2009, 15:40

Huggy

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RE: Quadraturformel mit 4 Unbekannten

Zitat:

Original von D3fe4t
Ich hoffe da ist jetzt kein absolut dummer Fehler drin...

Aber natürlich ist ein solcher da drin:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1~x~dx\neq 1 \end{eqnarray*}$

06.06.2009, 17:51

D3fe4t

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Ok Danke!

Ich hab die beiden Halben von rechts und links der Nullstelle addiert... verwirrt

Mit $\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1}x~dx = 0 \end{eqnarray*}$
hab ich dann das gleichungssystem mit Werten von (1, x, x², x³) gelöst, die Lösung passt allerdings nicht für $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ .
Gibt es eine andere Methode an die Werte von den c und x zu kommen?

06.06.2009, 20:42

Huggy

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Bist du sicher, dass es mit zwei Stützstellen bis zum Grad 4 geht?

06.06.2009, 21:22

D3fe4t

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Jetzt wollte ich gerade antworten, dass es hier so steht. In meinem Fall ist k aber die Ordnung - 1 also 3, was auch viel mehr Sinn macht, da das nächste Polynom ungeraden Grades immernoch wegen der Nulllösung gilt.

Ok also lag es jetzt an 2 Unachtsamkeiten von mir Big Laugh

Aber danke für die Hilfe!

06.06.2009, 23:04

tigerbine

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Zitat:

Original von Huggy
Bist du sicher, dass es mit zwei Stützstellen bis zum Grad 4 geht?

Zwei Stützstellen sind $\begin{eqnarray*} x_0,x_1 \end{eqnarray*}$ . Also n=1. Polynome mit Maximalgrad 3 können exakt integriert werden, bei optimaler Wahl der Stützstelen.

Zitat:

Satz:

Die Ordnung obiger Quadraturformeln beträgt höchstens 2n+2, d.h. alle Polynome $\begin{eqnarray*} p \in \Pi_{2n+1} \end{eqnarray*}$ werden exakt integriert.

Deinen Ansatz verstehe ich nicht? 1,x ok, aber dann muss x² kommen. Augenzwinkern

Es sollten am Ende eigentich die Legendre-Polynome rauskommen.

07.06.2009, 12:26

D3fe4t

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Ja $\begin{eqnarray*} P(x) = x + 1 \end{eqnarray*}$ kommt ja aufs gleiche hinaus wie $\begin{eqnarray*} P(x) = x \end{eqnarray*}$ .
Ich hab mich halt zuerst nur über den Widerspruch gewundert, aber das war ja, weil ich nen falschen Wert für das Integral genommen hab.
Im Endeffekt hab ichs dann mit den Monomen $\begin{eqnarray*} 1, x, x^2, x^3 \end{eqnarray*}$ gelöst und Legendre-Polynome sagen mir jetzt zwar nichts aber ich hab auf jeden Fall die richtige Lösung rausbekommen smile

07.06.2009, 18:59

tigerbine

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Prima, dann ist das Ziel ja erreicht. Augenzwinkern

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