zz: f(x)=1/x stetig

06.06.2009, 22:47	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
zz: f(x)=1/x stetig Hi, it's me again, Vor: $\begin{eqnarray} f: (0,1]\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto\frac{1}{x} \end{eqnarray}$ Beh.: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist stetig Bew: Für alle $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} x_0\in (0,1] \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \delta :=\varepsilon \end{eqnarray}$ so gilt für alle $\begin{eqnarray} x\in (0,1] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vert x-x_0\vert\leq\delta =\varepsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vert f(x)-f(x_0)\vert=\vert\frac{1}{x} -\frac{1}{x_0}\vert =\vert\frac{x-x_0}{xx_0}\vert \leq\frac{\delta}{\vert xx_0\vert} =\frac{\varepsilon}{\vert xx_0\vert} <\varepsilon \end{eqnarray}$ also f stetig. kann man das so machen??? Grüße, schmouk
06.06.2009, 22:58	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
\|xx_0\| kann doch kleiner 1 sein, deswegen ist die letzte Abschätzungen m.M. nach falsch. Kann man allerdings leicht reparieren.
07.06.2009, 00:15	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt. Dass ich sowas aber auch ständig noch übersehe... kerl... aber ich denke ich auch $\begin{eqnarray} \delta = \varepsilon\cdot\vert xx_0\vert \end{eqnarray}$ wählen. (ich denke die Begründung ist das Archimedesaxiom). Und dann küzen sich die $\begin{eqnarray} \vert xx_0\vert \end{eqnarray}$ 's und es stimmt. richtig so? Grüße
07.06.2009, 00:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so hätte ich es auch gemacht
07.06.2009, 00:40	Ungewiss	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ auch von x abhängen darf, wäre dann nicht jede Funktion stetig, indem man $\begin{eqnarray} \delta=\frac{\|x-x_0\|\epsilon}{\|f(x)-f(x_0)\|} \end{eqnarray}$ wählt? Oder übersehe ich was? Bitte um Aufklärung oder eine Anmerkung, warum das hier legitim ist.
07.06.2009, 13:00	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist nicht legitim, sondern falsch. $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ darf von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ abhängen, aber nicht von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ .
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07.06.2009, 13:06	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, hab ich mittlerweile eingesehen. einen tipp zur lösung?
07.06.2009, 13:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wähle $\begin{eqnarray} \delta:=\min\left\{\frac{\|x_0\|}{2},\frac{\varepsilon\cdot \|x_0\|^2}{2}\right\} \end{eqnarray}$ .

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