Integral, Limes Betrachtung

06.06.2009, 23:59

tim90

Integral, Limes Betrachtung

Nabend,
Bin gerade dabei das Integral der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(ln(x)-1)^2 \end{eqnarray*}$ von z bis e zu berechnen. Dazu muss man wissen, dass der Graph der Funktion die x-Achse in e schneidet und 0<z<e ist. Das bedeutet für die Aufgabe, dass die Fläche durch eine Paralle zur y-Achse in x=z, x- Achse und den Schnittpunkt des Graphen mit dieser begrenzt ist.

Zuerst habe ich integriert und eine Flächeninhaltsfunktion in Abhängigkeit von z aufgestellt: $\begin{eqnarray*} A(z)=2e-z(ln^2z-4lnz+5) \end{eqnarray*}$ Ich hoffe, das ist so richtig.. vielleicht kann da ja mal jemand ein Auge drauf werfen.

Nun soll ich laut Aufgabenstellung das z der Flächeninhaltsfunktion A(z) gegen 0 laufen lassen.

Aus der Zeichnung würde sich für mich auf den ersten Blick A(z)=unendlich ergeben. Wenn man meiner Flächeninhaltsfunktion glauben schenken darf und ich diese gegen 0 laufen lasse, erhalte ich A(z)=e.

Bitte helft mir und rechnet die Aufgabe doch mal mit durch, irgendwo muss da doch der Wurm drin sein! (Vielleicht beim integrieren nicht fehlerfrei gewesen..?)

Vielen Dank schon mal an alle die sich mit rein denken..
Bis dann, Tim

07.06.2009, 03:19

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast richtig gerechnet, die Fläche müsste aber dann 2e sein, wenn dein rechter Ausdruck für z gegen 0 auch gegen null geht. Die Fläche kann ja trotzdem endlich sein, wie man es ja auch von Integralen her kennt, bei denen die Obergrenze gegen unendlich geht. Die Zuwächse werden immer kleiner und gehen gegen null.

07.06.2009, 09:26

tim90

Auf diesen Beitrag antworten »

Das erleichtert mich, wenn ich richtig gerechnet habe. Jetzt fällts mir auch wieder ein,
Flächeninhalte können ja auch endlich sein, wenn sie nicht genau begrenzt sind. Natürlich muss ich bei meiner Limes Betrachtung = 2e erhalten.

Eine Frage habe ich im Allgemeinen aber noch zur Grenzwert betrachtung:

Wenn ich diese Funktion $\begin{eqnarray*} [latex]f(x)= \frac{1}{x^2}*x*log(x) \end{eqnarray*}$ [/latex] gegen 0 laufen ließe. Dann würde sich fürden ersten Faktor unendlich ergeben, für den zweiten 0 und für den dritten - unendlich. Nach welchen "Leitsätzen" kann ich die Grenzwerte betrachten. Welche Funktionstherme überwiegen welche? Weg von meinem Beispiel würde ich dies gern im allgemeinen verstehen.

Noch ein Beispiel, bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+15x \end{eqnarray*}$ gegen minus unendlich bekomme ich ja plus unendlich raus, auch wenn der eine Summand plus unendlich ist und der andere minus.

Hoffentlich habe ich einigermaßen verständlich gemacht worum es mir geht..

Danke für Erläuterungen

07.06.2009, 09:50

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tim90
Welche Funktionsterme überwiegen welche?

Schon in dieser Formulierung ist das kreuzgefährlich, derartige Denkweisen führen mit ziemlicher Sicherheit in die Irre - mit "überwiegen" lässt sich keine mathematische Argumentation aufbauen.

Forme deine Funktion lieber so um, dass das Grenzwertverhalten deutlich wird - einfach kürzen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{x} \cdot \log(x) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x\searrow 0 \end{eqnarray*}$ geht der erste Faktor gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ , und der zweite gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Wohin geht dann das Produkt?

Neue Frage »

Antworten »

Integral, Limes Betrachtung

Verwandte Themen