Eigenschaften der Exponentialverteilung

07.06.2009, 14:29

Farry

Eigenschaften der Exponentialverteilung

Hi leute,

ich habe folgende aufgabe und eider keine ahnung, wie ich das machen soll:
$\begin{eqnarray*} X\sim Exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Y\sim Exp(\mu) \end{eqnarray*}$ . Welche Verteilung hat $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ ?

Kann man das irgendwie über die Berechnung der Wahrscheinlichkeit machen, also $\begin{eqnarray*} P(X-Y\geq t) \end{eqnarray*}$ ?

Ich brauche nur einen Einstieg. Für den wäre ich sehr dankbar.

07.06.2009, 15:11

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Die Berechnung geht so ähnlich wie bei der Summe stetig verteilter Zufallsgrößen, d.h. über ein Faltungsintegral. Wenn du das kennst, kannst du das gleich auf

$\begin{eqnarray*} X-Y = X + (-Y) \end{eqnarray*}$

anwenden.

07.06.2009, 15:14

Farry

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Nein, das sagt mir leider gar nichts. Könntest du es mir erklären?

07.06.2009, 15:33

Farry

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Doch, jetzt hab ich etwas dazu gefunden. Wir haben mal die Verteilung von X+Y zweier unabhängiger, exponentialverteilter Zufallsgrößen berechnet. Was mich nur irritiert ist, wie ich (-Y) in die Formel bringe, und dass nicht beide mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ verteilt sind.

07.06.2009, 15:54

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Zitat:

Original von Farry
wie ich (-Y) in die Formel bringe

Die Verteilung von $\begin{eqnarray*} -Y \end{eqnarray*}$ lässt sich aus der von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bestimmen:

$\begin{eqnarray*} F_{-Y}(t) = P(-Y\leq t) = P(Y \geq -t) = 1-P(Y < -t) \end{eqnarray*}$

Für stetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ kann man das weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} F_{-Y}(t) = 1-P(Y \leq -t) = 1-F_Y(-t) \end{eqnarray*}$ .

Für die Dichte als Ableitung der Verteilungsfunktion ergibt das

$\begin{eqnarray*} f_{-Y}(t) = \frac{\dd}{\dd t} F_{-Y}(t) = -(-F_Y'(-t)) = f_Y(-t) \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt die dir anscheinend doch bekannte Faltungsformel anwenden!

Zitat:

Original von Farry
und dass nicht beide mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ verteilt sind.

Die Faltungsformel gilt auch für unterschiedliche Parameter, ja sogar für gänzlich unterschiedliche Verteilungen, solange sie nur stetig sind (d.h. die Dichten existieren).

07.06.2009, 16:11

Farry

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Also ist die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_{(X,Y)}(x,y)=\lambda \mu e^{- \lambda x + \mu y} \end{eqnarray*}$ ?

07.06.2009, 16:18

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Nein. Zum einen meinst du vermutlich die Dichte von $\begin{eqnarray*} (X,-Y) \end{eqnarray*}$ statt der von $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ , zum anderen solltest du noch angeben, für welche $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ diese Formel gelten soll. Sie gilt nämlich nicht für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ . unglücklich

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