Richtungsableitung f: R^2 -> R

07.06.2009, 16:48

stereo

Richtungsableitung f: R^2 -> R

Hallo Mathematiker Wink

Ich bin mir nicht sicher ob das so stimmt was ich nieder geschrieben habe, ich wäre für eine Überprüfung sehr dankbar.

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb {R}^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch

$\begin{eqnarray*} f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y)=(0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt unstetig, also auch nicht differenzierbar ist, dass aber die Richtungsableitung $\begin{eqnarray*} \partial_v ~f(0,0) \end{eqnarray*}$ für jede Richtung v existiert.

Unstetigkeit im Punkt (0,0):

Es seien Folgen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ mit: $\begin{eqnarray*} y_n \to 0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_n \to 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x_n \neq 0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} y_n \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0,y_n) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(y_n^2 , y_n) = \frac{y_n^4}{y_n^4 + y_n^4} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Nicht stetig im Punkt (0,0), da: $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \neq f(0,0) \end{eqnarray*}$

Für die Richtungsableitung gilt:

$\begin{eqnarray*} \partial_v ~f(x_0) := \lim_{t \to 0} \frac {f(x_0 + tv) - f(x_0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac {f(tv) - f(0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac {f(tv)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac {t^3 \cdot v_1 \cdot v_2^2}{t(t^2 \cdot v_1^2 + t^4\cdot v_2^4)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{t \to 0} \frac {v_1 \cdot v_2^2}{v_1^2 + t^2\cdot v_2^4} = \frac {v_2^2}{v_1} \end{eqnarray*}$

Die Richtungsableitung existiert im Punkt (0,0) für $\begin{eqnarray*} v_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt frag ich mich, wo mein Fehler ist, denn es soll ja für alle v eine Richtungsableitung geben.

Bitte um Hilfe smile

07.06.2009, 17:20

Abakus

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RE: Richtungsableitung f: R^2 -> R
Wenn eine der beiden Variablen $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ schon gleich 0 ist, kürzt du bei deiner Rechnung ggf. durch 0. Mache korrekter eine Fallunterscheidung.

Grüße Abakus smile

07.06.2009, 17:42

stereo

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Hmm

Ich seh es nicht was du meinst. Hast du noch einen weiteren Tip, bitte

07.06.2009, 17:52

Abakus

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RE: Richtungsableitung f: R^2 -> R

Zitat:

Original von stereo
$\begin{eqnarray*} = \lim_{t \to 0} \frac {v_1 \cdot v_2^2}{v_1^2 + t^2\cdot v_2^4} = \frac {v_2^2}{v_1} \end{eqnarray*}$

Die Richtungsableitung existiert im Punkt (0,0) für $\begin{eqnarray*} v_1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Was passiert denn zB mit diesem Limes, wenn $\begin{eqnarray*} v_1 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Grüße Abakus smile

07.06.2009, 17:58

stereo

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Ach ja, im nachhinein ist man immer schlauer smile

Wenn $\begin{eqnarray*} v_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac { 0 \cdot v_2^2}{t^2 \cdot v_2^4} = 0 \quad \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir nicht sicher ob t , v_2 = 0 sein dürfen. Man könnte ja sagen dass der Zähler schneller gegen 0 geht, so ähnlich wie man es bei der Frechier Ableitung sagt.

07.06.2009, 18:12

Abakus

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Wenn $\begin{eqnarray*} v_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} v_2 = 1 \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ soll ja eine Richtung angeben und zugleich ein Einheitsvektor sein. Analog umgekehrt.

Wie gesagt, am Besten machst du eine Fallunterscheidung.

Grüße Abakus smile

07.06.2009, 18:30

stereo

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Mit dem Einheitsvektor stimmt, hab ich gar nichtmehr dran gedacht.

Also ich steige ein bei:

$\begin{eqnarray*} \ldots = \lim_{t \to 0} \frac {v_1 \cdot v_2^2}{v_1^2 + t^2\cdot v_2^4} \end{eqnarray*}$

1. Fall: $\begin{eqnarray*} v_1=0 \quad v_2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac {0 \cdot 1}{0 + t^2\cdot 1} = 0 \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} v_1=1 \quad v_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac {1 \cdot 0}{1 + t^2\cdot 0} = 0 \end{eqnarray*}$

3. Fall: $\begin{eqnarray*} v_1 \neq 0 \quad v_2 \neq 0 \quad ||v||=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac {v_1 \cdot v_2^2}{v_1^2 + t^2\cdot v_2^4} = \frac{v_2^2}{v_1} \end{eqnarray*}$

Die Grenzwerte existieren und somit ist die Aufgabe gelöst. Habe vielen Dank, an den Einheitsvektor hatte ich nichtmehr gedacht.

07.06.2009, 18:37

Abakus

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OK, so geht es Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

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