Primideal in kommutativem Ring

07.06.2009, 16:31	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
Primideal in kommutativem Ring Hallo! ich habe hier eine Aussage, bei der ich nicht auf den Beweis komme: Ich habe einen kommutativen Ring R gegeben, in dem für alle Elemente aus dem Ring R eine natürliche Zahl n exisitert, sodass $\begin{eqnarray} a^n=a \end{eqnarray}$ gilt. Die Behauptung lautet nun: Jedes Primideal ist in diesem Ring maximal. Ich bin mir nicht sicher, ob ich dies anhand einiger Aussagen schnell zeige oder ob ich mit der Gleichung herum spielen soll. Ich habe beides ohne vernünftiges Ergebnis versucht. Kann mir jemand von euch einen Tip geben. LG babelon
07.06.2009, 17:07	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \mathfrak p \end{eqnarray}$ ein Primideal und $\begin{eqnarray} a\notin\mathfrak p \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Als Tipp, der eigentlich schon alles verrät, sei dir gesagt, dass $\begin{eqnarray} a\cdot\left(a^{n-1}-1\right)=0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gilt.
07.06.2009, 18:13	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathespezialschüler: vielen Dank für den Tip, mir ist dadurch aber immer noch nicht eingefallen, was gemacht werden muss.
07.06.2009, 18:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wegen $\begin{eqnarray} a\cdot\left(a^{n-1}-1\right)=0\in\mathfrak p \end{eqnarray}$ folgt was aus der Primidealeigenschaft?
07.06.2009, 18:48	babelon	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmm.. ich schreibe dir mal alles auf, was ich mir gedacht habe. $\begin{eqnarray} \text{Sei P ein Primideal von R und sei } a \notin P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ mit } a \in R, \exists n \in \mathbb{N}, n \geq 2: a^n=a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a^n - a = 0 \text{ für ein }n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a \cdot (a^{n-1}-1)=0 \text{ für ein }n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Da }0 \in P \Rightarrow a \cdot (a^{n-1}-1) \in P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Da }a \notin P \Rightarrow (a^{n-1}-1) \in P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow (a^{n-1}-1) \equiv 0 (\text{mod p}) \end{eqnarray}$ hilft mir davon etwas weiter? (ich hab noch eine Zeile eingefügt)
07.06.2009, 23:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, heute ist anscheinend nicht mein Tag. War ziemlicher Blödsinn, was ich geschrieben hab. Tut mir leid. Ich leg mich dann mal lieber schlafen.
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08.06.2009, 05:07	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh versteh ich nicht? Warum ist jetzt nicht einfach a^(n-1) = 1 <=> a*a^(n-2) = 1 in R/p. Also ist jedes nicht Nullelement in R/p invertierbar -> Körper -> p maximal
08.06.2009, 21:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, ich hab gestern nicht viel Sinnvolles zustande bekommen. Dein Gedankengang ist aber genau richtig.

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