Integral mit Wurzel im Nenner

07.06.2009, 19:29

moinmoin

Integral mit Wurzel im Nenner

hallo miteinander,

folgendes steht am speiseplan:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

nun, ich habe einmal mit partieller integration experimentiert. beide alternativen fuehren zu nichts brauchbarem...

nach recherche im netz habe ich hier etwas gefunden:

http://www.chemieonline.de/forum/showthr...ad.php?t=117521

dieser ansatz ist fuer mich nachvollziehbar - solange bis dann

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sinh{u}}~du \end{eqnarray*}$

dasteht. die weitere vorgehensweise ist schlichtweg jenseits meines repertoires... ein blick auf:

http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=1%2F(x*sqrt(x^2%2B1))&random=false

zeigt mir, dass das integral vermutlich doch leichter zu loesen sein koennte. dann dachte ich an die partialbruchzerlegung. nachdem der nenner wurzelfrei gemacht wird, und ich den pbz ansatz mit komplexen polstellen mache, stecke ich bei der berechnung der koeffizienten fest...

bin ich so auf der richtigen spur?! andere tips? bin ueber jede hilfe dankbar!

07.06.2009, 19:33

IfindU

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RE: integral mit wurzel im nenner
Substituier doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Habs mal probiert, kommt leider nicht so schön raus wie ichs dachte.

07.06.2009, 20:06

Ungewiss

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RE: integral mit wurzel im nenner

Zitat:

Original von IfindU
Substituier doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Und wie genau führt das zum Ziel verwirrt

Denk doch mal daran, wie sinh definiert ist und substituier $\begin{eqnarray*} z=e^u \end{eqnarray*}$ . So kommt man auf eine Lösung, die aber von der bei Wolfram abweicht. Vielleicht versteckt sich bloß irgendwo eine Konstante?

07.06.2009, 20:52

outSchool

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RE: integral mit wurzel im nenner

Zitat:

Original von moinmoin
hallo miteinander,

folgendes steht am speiseplan:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

. . .

andere tips? bin ueber jede hilfe dankbar!

$\begin{eqnarray*} \text{Substituiere }x = \frac{1}{u} \Rightarrow dx = - \frac{du}{u^2} \end{eqnarray*}$

Es gilt außerdem

$\begin{eqnarray*} - \int~\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}~du = -arsinh(u) = - ln(u+\sqrt{u^2+1}) \end{eqnarray*}$

Rücksubstitution nicht vergessen!

$\begin{eqnarray*} u = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Edit: du war doppelt

08.06.2009, 17:26

Keto

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RE: Integral mit Wurzel im Nenner
[quote]Original von moinmoin
hallo miteinander,

folgendes steht am speiseplan:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

Kann man nicht so anfangen: ?

$\begin{eqnarray*} lnx \int \frac{1}{x^{3}} dx \end{eqnarray*}$

Bin kein Mathe profie also vielleicht erst überprüfen verwirrt

08.06.2009, 21:10

outSchool

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RE: Integral mit Wurzel im Nenner

Zitat:

Original von Keto
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

Kann man nicht so anfangen: ?

$\begin{eqnarray*} lnx \int \frac{1}{x^{3}} dx \end{eqnarray*}$

Wie kommst du darauf? Bin offen für jede neue Idee.

08.06.2009, 21:18

Calvin

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RE: Integral mit Wurzel im Nenner

Zitat:

Original von Keto

Zitat:

Original von moinmoin
hallo miteinander,

folgendes steht am speiseplan:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{x\cdot \sqrt{x^2+1}}~dx \end{eqnarray*}$

Kann man nicht so anfangen: ?

$\begin{eqnarray*} lnx \int \frac{1}{x^{3}} dx \end{eqnarray*}$

Bin kein Mathe profie also vielleicht erst überprüfen verwirrt

Und was soll das bringen? Es ist $\begin{eqnarray*} \ln{x}\int\frac{1}{x^3}\,\dx=-\frac{\ln{x}}{2x^2} \end{eqnarray*}$ . Das ist garantiert nicht die Lösung des ursprünglichen Integrals. Was versprichst du dir davon?

08.06.2009, 23:47

Keto

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*edit

09.06.2009, 00:00

WebFritzi

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@Keto: Abgesehen davon, dass dein Weg nichts mit der Aufgabe zu tun hat, ist deine Integration auch noch falsch. Wenn du schon substituierst (was hier wirklich nicht nötig ist), dann musst du auch das x mitsubstituieren.

17.06.2009, 10:15

moinmoin

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Vielen Dank fuer eure Antworten!

Der Ansatz von outSchool fuehrt zum Ziel und ist fuer mich nachvollziehbar. Hier ist wohl erprobte mathematische Intuition noetig, um den richtigen Ansatz zu finden...

@Ungewiss: Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \text{sinh}~{x} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$ ... Also:

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2}{e^x-e^{-x}}~dx \end{eqnarray*}$

mit Deinem Vorschlag $\begin{eqnarray*} z = e^x \end{eqnarray*}$ komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2}{z-\frac{1}{z}}\cdot\frac{1}{z}~dz = 2\int~\frac{1}{z^2-1}~dz = \ln{(z-1)} - \ln{(z+1)} = \ln{\frac{(e^x-1)}{(e^x+1)}} \end{eqnarray*}$

und das ist - soweit ich das beurteilen kann - nicht mit der Loesung von outschool (die ja aequivalent zu der von Wolfram ist) zu vereinbaren...
Ist es das was Du meinst?

Wie kommen wir hier auf einen gruenen Zweig?

edit:
habe gerade bemerkt, dass es ja $\begin{eqnarray*} \text{sinh}~u \end{eqnarray*}$ heisst, also nochmal ruecksubstituiert werden muss...

17.06.2009, 20:46

outSchool

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Zitat:

Original von moinmoin
. . .

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2}{e^x-e^{-x}}~dx \end{eqnarray*}$

mit Deinem Vorschlag $\begin{eqnarray*} z = e^x \end{eqnarray*}$ komme ich auf

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{2}{z-\frac{1}{z}}\cdot\frac{1}{z}~dz = 2\int~\frac{1}{z^2-1}~dz = \ln{(z-1)} - \ln{(z+1)} = \ln{\frac{(e^x-1)}{(e^x+1)}} \end{eqnarray*}$

und das ist - soweit ich das beurteilen kann - nicht mit der Loesung von outschool (die ja aequivalent zu der von Wolfram ist) zu vereinbaren...
Ist es das was Du meinst?

Wie kommen wir hier auf einen gruenen Zweig?

Nachdem Ungewiss sich nicht mehr meldet (hat wohl deinen Thread verpasst), hier noch ein paar Tipps, wie du auf deinen grünen Zweig kommst.

$\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right) = \ln\left( \frac{e^{(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})} - e^{(\frac{x}{2}-\frac{x}{2})}}{e^{(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})} + e^{(\frac{x}{2}-\frac{x}{2})}} \right) \end{eqnarray*}$

Im nächsten Schritt brauchst du die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \tanh\left( \frac{u}{2} \right) = \frac{\sinh(u)}{\cosh(u)+1} \end{eqnarray*}$

Die erste Substitution war ja

$\begin{eqnarray*} x=\sinh(u) \end{eqnarray*}$

Die Rücksubstitution ist dann $\begin{eqnarray*} u = arcsinh(x) \end{eqnarray*}$

Da musst du dann wissen, was $\begin{eqnarray*} cosh(arcsinh(x)) \end{eqnarray*}$ ist.

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit mit Substitution für das Integral

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sinh(x)}~dx \end{eqnarray*}$

Wenn du Interesse hast, können wir das auch noch machen.

17.06.2009, 22:30

moinmoin

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ok...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right) = \ln\left( \frac{e^{(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})} - e^{(\frac{x}{2}-\frac{x}{2})}}{e^{(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})} + e^{(\frac{x}{2}-\frac{x}{2})}} \right) \end{eqnarray*}$

Ich bekomme dann (zum besseren Verstaendnis wieder u genommen):

$\begin{eqnarray*} \ln\left( \frac{e^{\frac{u}{2}} - e^ {-\frac{u}{2}}}{ e^{\frac{u}{2}}+e^{-\frac{u}{2}}}\right) = \ln \left( \text{tanh}~\frac{u}{2}\right) = \ln \left( \frac{\text{sinh}~u}{\text{cosh}~u + 1} \right) \end{eqnarray*}$

und nach Ruecksubstitution

$\begin{eqnarray*} \ln \left( \frac{x}{\text{cosh}(\text{arcsinh}~(x)) + 1} \right) \end{eqnarray*}$

mit einem Blick auf die bereits erhaltene Loesung deduziere ich

$\begin{eqnarray*} \text{cosh}(\text{arcsinh}~(x)) = \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

wodurch sich die bekannte Loesung ergibt:

$\begin{eqnarray*} \ln{x} - \ln (\sqrt{x^2+1} + 1) \end{eqnarray*}$

wir befinden uns also wieder auf einem tiefgruenen zweig! Freude

Deine alternative Loesung interessiert mich auch noch...

18.06.2009, 00:46

outSchool

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Moin, es ist zwar noch etwas früh moinmoin,
aber

Zitat:

Original von moinmoin

mit einem Blick auf die bereits erhaltene Loesung deduziere ich

$\begin{eqnarray*} \text{cosh}(\text{arcsinh}~(x)) = \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Besser ist:

$\begin{eqnarray*} y = arcsinh(x) \Rightarrow x = \sinh(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = \sinh^2(y) \Rightarrow x^2 +1 = \cosh^2(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = arccosh(\sqrt{x^2+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cosh(y) = \cosh(arccosh(\sqrt{x^2+1})) = \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von moinmoin
Deine alternative Loesung interessiert mich auch noch...

Jetzt erst mal Schläfer

Dann der Nachschlag.

18.06.2009, 18:53

outSchool

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Integration der Hyperbelfunktionen
Hier nun die 3. Alternative
$\begin{eqnarray*} \text{Mit der Substitution }u = \tanh\left(\frac{x}{2} \right) \text{ lassen sich hyperbolische Funktionen auf die Integration der rationalen Funktionen zurückführen.} \end{eqnarray*}$
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sinh^2\left(\frac{x}{2} \right) = \frac{\cosh(x)-1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cosh^2\left(\frac{x}{2} \right) = \frac{\cosh(x)+1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tanh^2\left(\frac{x}{2} \right) = \frac{\sinh^2\left(\frac{x}{2} \right)}{\cosh^2\left(\frac{x}{2} \right)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tanh\left(\frac{x}{2} \right) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)+1} \end{eqnarray*}$

Substitution cosh(x)

$\begin{eqnarray*} u^2 = \tanh^2\left(\frac{x}{2} \right) = \frac{\sinh^2\left(\frac{x}{2} \right)}{\cosh^2\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cosh(x)-1}{\cosh(x)+1} \end{eqnarray*}$

und nach dem Umformen

$\begin{eqnarray*} \cosh(x) = \frac{1+u^2}{1-u^2} \end{eqnarray*}$

Substitution sinh(x)

$\begin{eqnarray*} u = \tanh\left(\frac{x}{2} \right) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sinh(x) = u \cdot (\cosh(x)+1) = u \cdot \left(\frac{1+u^2}{1-u^2} + 1\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sinh(x) = \frac{2u}{1-u^2} \end{eqnarray*}$

Substitution dx

$\begin{eqnarray*} u(x) = \tanh\left(\frac{x}{2} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{1}{2 \cdot \cosh^2\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{\cosh(x)+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = \frac{1}{\frac{1+u^2}{1-u^2}+1} = \frac{1-u^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{2}{1-u^2} du \end{eqnarray*}$

Nach den vielen Vorbereitungen geht es nun schnell

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{\sinh(x)}~dx = \int~\frac{1-u^2}{2u}\cdot \frac{2}{1-u^2}~du = \int~\frac{1}{u}~du = \ln(u) + C = \ln\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right) + C \end{eqnarray*}$

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