Kombinatorik und Gleichungssystem

07.06.2009, 19:43

Mathe_2010?

Kombinatorik und Gleichungssystem

Hi,

Ich habe eine Aufgabe, bei der ich eigentlich nur ein Zufallsexp. simulieren soll. Aber ich dachte, das Problem lässt sich auch eleganter lösen Big Laugh

Wenn ich alle Bedingungen des Experiments berücksichtige, komme ich auf folgende (Un)Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} |a-b| \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |c-d| \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+b+c+d=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq a,b,c,d\leq 10 \end{eqnarray*}$

Mich interessiert, ob man nun mithilfe Kombinatorischer Mittel o.ä. die Anzahl aller möglichen Quadrupel (a;b;c;d) bestimmen kann, die das (Un)Gleichungssystem erfüllen.

Aber wenn es wie ich vermute nur durch probieren geht, dann hat sich die Sache erledigt Big Laugh

Gruß

07.06.2009, 19:50

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Sollen $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in \mathbb{R} \text{ oder } \mathbb{Z} \text{ oder ...} \end{eqnarray*}$ sein?

07.06.2009, 19:53

Mathe_2010?

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Oh, stimmt. Es sollen Natürliche Zahlen sein.

07.06.2009, 20:30

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Sei

$\begin{eqnarray*} A_n = \left\{ (u,v)\in \mathbb{N}^2 \Bigm| u+v = n \,\wedge |u-v| \leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist

$\begin{eqnarray*} A_n = \begin{cases} \{ (0,0) \} & \;\mbox{für} \; n=0 \\ \{ (m-1,m) , (m,m-1) \} & \;\mbox{für} \; n=2m-1 \\ \{ (m-1,m+1) , (m,m) , (m+1,m-1)\} & \;\mbox{für} \; n=2m \geq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

demnach

$\begin{eqnarray*} |A_n| = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für} \; n=0 \\ 2 & \;\mbox{für} \; n=2m-1 \\ 3 & \;\mbox{für} \; n=2m \geq 2 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Basierend darauf ist die Anzahl der Lösungsquadrupel deines Problems gleich

$\begin{eqnarray*} 2\cdot 1\cdot 3 + 5\cdot 2^2 + 4\cdot 3^2 = 62 \end{eqnarray*}$

gewonnen aus den verschiedenen Aufteilungen $\begin{eqnarray*} a+b=n,c+d=10-n \end{eqnarray*}$ .

07.06.2009, 21:13

Mathe_2010?

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Wow!

Erst mal vielen Dank für die Mühe (sofern es dir welche bereitet haben sollte) smile

Ich sitze nun hier schon 30 min und versuche nachzuvollziehen, was du da gemacht hast:

1) Du hast eine Menge von Wertepaaren aus quadratischen Zahlen aufgestellt, die sich um max. 2 unterscheiden. Die Summe dieser Zahlen ist n

2) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann nun 0 sein (gilt nur für ein 1 Paar). Dann kann es noch ungerade sein (gilt für 2 Wertepaare in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ) und schließlich gerade sein (3 Paare in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ )

Also bis hierher konnte ich in etwa die Gleichungen nachvollziehen, aber leider noch nicht nicht, das Ziel, auf das es hinausläuft verwirrt

Und der Rest ging dann auch gar nicht mehr. Womöglich weil es ja schon so spät ist... *Ausrede such'* Ob du es vielleicht noch einmal für einen mathematisch sehr viel weniger talentierten Menschen erklären könntest?

PS: Ist das immer noch eine "Schulmathematik" Angelegenheit ? Big Laugh

07.06.2009, 21:16

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Das war eigentlich schon die Version mit Erklärung - zumindest skizziert. Ansonsten hätte ich nur den Teil

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 1\cdot 3 + 5\cdot 2^2 + 4\cdot 3^2 = 62 \end{eqnarray*}$

gewonnen aus den verschiedenen Aufteilungen $\begin{eqnarray*} a+b=n,c+d=10-n \end{eqnarray*}$ .

geschrieben. Ok, ich schreib für die gesuchte Anzahl mal noch einen Zwischenschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{10} |A_n| \cdot |A_{10-n}| \end{eqnarray*}$

07.06.2009, 21:40

Mathe_2010?

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Dann kann ich doch folgendes machen, oder?

$\begin{eqnarray*} a+b=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c+d=10-n \end{eqnarray*}$

Für die erste Gleichung gibt es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2-1+n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für die Zweite $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2-1+10-n \\ 10-n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Also:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \begin{pmatrix} 2-1+k \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2-1+10-x \\ 10-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=1}^n~(1+k)\cdot (11-k) \end{eqnarray*}$

Dann komm' ich aber auf was anderes. Naja, ich denke, ich werde mir morgen nocheinmal in Ruhe alles anschauen smile

Edit: Ach nein, in den Gleichungen ist ja nicht die Bedingung $\begin{eqnarray*} |a-b| \leq 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |c-d| \leq 2 \end{eqnarray*}$ enthalten Hammer

07.06.2009, 21:57

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Zitat:

Original von Mathe_2010?
Ach nein, in den Gleichungen ist ja nicht die Bedingung $\begin{eqnarray*} |a-b| \leq 2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} |c-d| \leq 2 \end{eqnarray*}$ enthalten Hammer

Na sieh mal an: Weswegen wohl habe ich den Vorspann über diese Mengen $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ oben angeführt? Augenzwinkern

07.06.2009, 22:01

Mathe_2010?

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Ja, warum höre ich auch einfach nicht auf die Großen Big Laugh

Ich scheine halt der Lern-Typ zu sein, der erst auf den Mund fallen muss um zu begreifen...

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