Lineare Abbildungen f(0)=0

08.06.2009, 13:11

schmouk

Da muss ich mal eine Zwischenfrage stellen:

Also eine Abbildung heißt linear wenn immer gilt $\begin{eqnarray*} f(\lambda x)=\lambda f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray*}$ f.a. a aus IK und x,y aus V.

Jetzt will ich begründen warum dann immer f(0)=0 gelten muss und nehme an es sei $\begin{eqnarray*} f(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ und f sei dennoch linear.

reicht es dann wenn ich sage
$\begin{eqnarray*} f(0)=f(x-x)=f(x)-f(x)=0 \end{eqnarray*}$ und somit kann nicht $\begin{eqnarray*} f(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für f gelten wenn gleichsam auch $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y\in V \end{eqnarray*}$ gelten soll.

schmouk

08.06.2009, 13:31

Dual Space

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Zitat:

Original von schmouk
reicht es dann wenn ich sage
$\begin{eqnarray*} f(0)=f(x-x)=f(x)-f(x)=0 \end{eqnarray*}$ und somit kann nicht $\begin{eqnarray*} f(0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ für f gelten wenn gleichsam auch $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y\in V \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Ja, das reicht. Freude

08.06.2009, 13:31

klarsoweit

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Zitat:

Original von schmouk
Da muss ich mal eine Zwischenfrage stellen:

Ganz schlecht. Für ein neues Thema sollte man auch einen neuen Thread aufmachen.

Der Beweis ist ansonsten ok.

08.06.2009, 19:44

WebFritzi

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Aber die Widerspruchsannahme ist hier völlig unnütz. Du zeigst doch

f(0) = f(x - x) = f(x) - f(x) = 0.

Fertig. Wozu der Widerspruchsbeweis, wenn es auch direkt geht? Übrigens geht auch:

$\begin{eqnarray*} f(0) = f(0\cdot 0) = 0\cdot f(0) = 0. \end{eqnarray*}$

Dabei muss man sich darüber klar werden, was hier die Null des Körpers und der Nullvektor ist.

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