Ableitung arctan(e^t)-ln(...)

08.06.2009, 14:49

Tete

Ableitung arctan(e^t)-ln(...)

Tachchen

merke leider immer wieder, dass mir für mein Studium ziemlich viele Mathekenntnisse abhanden gekommen sind, so hänge ich jetzt schon wieder an einer Aufgabe und weiß net weiter, bzw. verstehe die Musterlösung dazu nicht.

Es geht darum die Ableitung für folgende Funktion zu finden:

$\begin{eqnarray*} arctan(e^{t}) - ln \left(\sqrt{\frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}\right) \end{eqnarray*}$

ok die Ableitung von $\begin{eqnarray*} arctan(e^{t}) \end{eqnarray*}$ ist mir klar mit Kettenregel erhält man dort

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{t}}{e^{2t}+1} \end{eqnarray*}$

und beim anderen erhalte ich mittels Ketten und Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{\sqrt{\frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}} * \sqrt{\frac{2e^{2t}*(e^{2t}+1)+2e^{4t}}{(e^{2t}+1)^{2}}} \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht aber

$\begin{eqnarray*} - \frac{e^{2t}+1}{2e^{2t}} * \frac{2e^{2t}*(e^{2t}+1)-2e^{4t}}{(e^{2t}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Da stellt sich mir nun die Frage:

Welche Rechenregel wurde da angewandt?

Und dann geht es leider noch weiter:

beim multiplizieren von

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2t}+1}{2e^{2t}} * \frac{2e^{2t}*(e^{2t}+1)-2e^{4t}}{(e^{2t}+1)^{2}} \end{eqnarray*}$

bekomme ich sowas wie

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} - \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1} \end{eqnarray*}$ raus, aber laut Lösung müsste da
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^{2t}+1} \end{eqnarray*}$ rauskommen

sind vielleicht für manche hier dumme Fragen die man sich im Studium nicht stellen sollte, aber ich blicks einfach nich unglücklich

mfg
Tete

08.06.2009, 15:11

klarsoweit

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RE: Ableitung arctan(e^t)-ln(...)

Zitat:

Original von Tete
und beim anderen erhalte ich mittels Ketten und Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} - \frac{1}{\sqrt{\frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}} * \sqrt{\frac{2e^{2t}*(e^{2t}+1)+2e^{4t}}{(e^{2t}+1)^{2}}} \end{eqnarray*}$

Da hast du bei der Kettenregel die Ableitung der Wurzel unterschlagen.

08.06.2009, 15:45

Tete

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ok dann wäre es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{\frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}} * \frac{1}{2} * \frac{\frac{2e^{2t}*(e^{2t}+1)+2e^{4t}}{(e^{2t}+1)^{2}}}{\sqrt{\frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}} \end{eqnarray*}$

dann passt das mit den wurzeln, aber woher kommt dann die $\begin{eqnarray*} -2e^{4t} \end{eqnarray*}$
in der Musterlösung? Bei mir ist es jetzt nämlich ein $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$

08.06.2009, 19:25

Tete

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niemand mehr eine Antworthier drauf? traurig

08.06.2009, 20:18

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Du hättest dir die Sache erheblich leichter machen können, und zwar durch vorherige Vereinfachung der zu differenzierenden Funktion, zumindest des zweiten Terms:

$\begin{eqnarray*} \ln\left(\sqrt{\frac{e^{2t}}{e^{2t}+1}}\right) = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{e^{2t}}{e^{2t}+1} \right) = -\frac{1}{2}\ln\left( \frac{e^{2t}+1}{e^{2t}} \right) = -\frac{1}{2}\ln\left( 1+e^{-2t} \right) \end{eqnarray*}$

09.06.2009, 09:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tete
dann passt das mit den wurzeln, aber woher kommt dann die $\begin{eqnarray*} -2e^{4t} \end{eqnarray*}$
in der Musterlösung? Bei mir ist es jetzt nämlich ein $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$

Schau dir nochmal die Quotientenregel genau an.

09.06.2009, 11:33

Tete

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Alles klar, danke Augenzwinkern

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