Grenzwert der Fakultät

08.06.2009, 15:17

donvito

Grenzwert der Fakultät

Hallo,

Ich soll zeigen, dass n! << n^n

dazu muss ich ja nun zeigen, dass lim |n!| / lim |n^n| (beides natürlich gegen unendlich) = 0.

Dabei bin ich jetzt auf das Probem gestoßen, dass ich nicht weiß wie ich auf den Grenzwert der Fakultät komme. Mathematice spuckt nämlich aus
Limit[n!, n->inf]
Gamma[1+inf]

ich vermute mal, dass das einfach heißt unendlich, oder?

Und kann ich dann einfach folgern, dass unendlich/unendlich = 0 ist?

08.06.2009, 15:26

klarsoweit

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RE: Grenzwert der Fakultät

Zitat:

Original von donvito
Und kann ich dann einfach folgern, dass unendlich/unendlich = 0 ist?

Nein, oder was würdest du bei $\begin{eqnarray*} \frac{2n+1}{n} \end{eqnarray*}$ rechnen?

08.06.2009, 15:29

donvito

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Ok stimmt... nur wie gehe ich dann vor um das zu zeigen?

08.06.2009, 15:40

klarsoweit

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Ich weiß jetzt nicht, ob es damit geht, aber ich würde mal schauen, ob man sowas mit vollständiger Induktion zeigen kann:

$\begin{eqnarray*} n \cdot n! < n^n \end{eqnarray*}$ .

08.06.2009, 15:45

donvito

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Ne, es ist ziemlich sicher, dass wir das mit den Grenzwert-Regeln machen sollen. So steht das jedenfalls im Skript und es passt ja soweit auch.

08.06.2009, 16:01

klarsoweit

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Im Moment paßt da gar nichts. Welche Regeln willst du denn anwenden? Wenn meine Ungleichung bewisen ist, folgt sofort $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ , woraus sich dann der Grenzwert Null ergibt.

08.06.2009, 16:04

Huggy

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Viele Wege führen nach Rom, manchmal auch sehr einfache. Verallgemeinere dieses Beispiel für n = 6 auf beliebiges n und mache dann den Grenzübergang.

$\begin{eqnarray*} \frac{6!}{6^6}=(\frac{6}6{}\frac{5}{6}\frac{4}{6})(\frac{3}{6}\frac{2}{6}\frac{1}{6})<(1\cdot 1\cdot 1(\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^3 \end{eqnarray*}$

Achte auf den Unterschied n gerade bzw. ungerade, damit der Beweis exakt ist.

08.06.2009, 16:08

Tim Taylor

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Zitat:

Original von donvito
Ne, es ist ziemlich sicher, dass wir das mit den Grenzwert-Regeln machen sollen. So steht das jedenfalls im Skript und es passt ja soweit auch.

$\begin{eqnarray*} 0\leq\frac{n!}{n^n}\leq\frac{1}{2^{n-1}},~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

08.06.2009, 16:30

Airblader

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Noch eine Anmerkung.

Zitat:

Und kann ich dann einfach folgern, dass unendlich/unendlich = 0 ist?

Das finde ich hochinteressant. Dass manche oo/oo = 1 "folgern" ist aus mathematischer Unkenntniss ja noch verständlich. Aber wie man auf Null kommt ist mir in jeglicher Logik ein Rätsel. verwirrt

air

09.06.2009, 10:33

donvito

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Ich gebe zu, das war ein wenig ein Schuss in den Wind. traurig

Ich habe mich jetzt mal etwas schlau gemacht L'Hospital hilft hier wohl auch nichts, da die Ableitung der Fakultätsfunktion nicht so ohne weiteres zu machen ist.

Der Vorschlag von Huggy sieht gut aus, allerdings fehlt eine Klammer *klugscheiß* und mir ist nicht klar wie du auf das $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^3 \end{eqnarray*}$ kommst. Müsste denn da nicht stehen $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{6})^6 \end{eqnarray*}$

@Tim Taylor: Ich würde gerne noch wissen woraus das folgt was du geschrieben hast.

09.06.2009, 10:49

Huggy

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Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{6}\leq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{6}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bei 1/6 hätte man ja > statt <, was einem nicht hilft.

Aus meinem Vorschlag folgt eine ähnliche Formel wie die von Tim Taylor.

Edit: und bei den vorderen Faktoren analog < 1

09.06.2009, 10:50

klarsoweit

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Mich würde interessieren, warum man meinen Vorschlag nicht aufgreifen möchte.

09.06.2009, 10:56

Tim Taylor

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Zitat:

Original von donvito
@Tim Taylor: Ich würde gerne noch wissen woraus das folgt was du geschrieben hast.

Der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ lässt sich auf viele Weisen abschätzen:

- Die Stirling'sche Formel z.B. kommt da in Frage.

- Die Abschätzung, die ich oben gegeben habe könntest Du einfach beweisen und dann benutzen.

- Im gegebenen Kontext tut's aber auch die wesentlich schwächere Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n}=\frac 1n\left( \frac 2n \cdot \frac 3n \cdots \frac nn\right)\leq\frac 1n. \end{eqnarray*}$

Bei dieser sollte sich die Frage "woraus das folgt?" nicht stellen.

09.06.2009, 11:09

donvito

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Danke! Jeztz ist es klar und ich werde mich nachher mal dran machen alles schön aufzuschreiben smile

@Klarsoweit: Das liegt daran, dass wir ein ganzes Blatt voller Induktionsaufgaben haben und ich doch auch mal etwas anderes machen möchte Big Laugh

09.06.2009, 11:13

klarsoweit

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Meine Abschätzung ist genau das, was Tim Taylor als letztes geschrieben hat. Wie man das beweist, ist eine andere Frage. Da ich kein Freund von "Pünktchenbeweisen" bin, ist eine Induktion formal das sauberste.

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