Optimierungsproblem mit Zufallsvariable

08.06.2009, 16:24	upsail	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierungsproblem mit Zufallsvariable Hallo zusammen! Ich bin neu hier im Forum und habe gleich mal ein Problem: Ich möchte ein Optimierungsproblem lösen, bei dem eine zufällige Variable mit im Spiel ist. Für eine Gewinnfunktion soll der optimale Preisaufschlag $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gefunden werden, wobei $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ein Nachfrageschock ist. Es gilt außerdem $\begin{eqnarray} E(u)=0 \end{eqnarray}$ . Näheres ist zu seiner Verteilung nicht bekannt (könnte ich aber annehmen). Um das Optimum zu finden habe ich die Funktion des erwarteten Gewinns abgeleitet und gleich null gesetzt, und komme auf folgende Bedingung erster Ordnung: $\begin{eqnarray} E(\frac{c(m+u-a(c+2c\alpha))}{c\alpha(m+u-ac(1+\alpha))-F})=0 \end{eqnarray}$ c, a und F sind konstante Parameter. Mein Ziel ist es, nach $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ aufzulösen. Leider bin ich ziemlich unsicher, was das Rechnen mit dem Erwartungsoperator angeht. Ist es richtig, dass eine Umformung $\begin{eqnarray} E(\frac{c(m+u-a(c+2c\alpha))}{c\alpha(m+u-ac(1+\alpha))-F})=E(c(m+u-a(c+2c\alpha))) \cdot E(\frac{1}{c\alpha(m+u-ac(1+\alpha))-F}) \end{eqnarray}$ nicht gültig ist, da ja der Zähler und der Nenner beide von u abhängen und somit deren Kovarianz ungleich null ist? Muss ich den Weg über $\begin{eqnarray} E(\frac{x}{y})=E(y)E(x)+Cov(x,\frac{1}{y}) \end{eqnarray*}$ gehen? Über eine Starthilfe - also einen kleinen Wegweiser Richtung Lösung - wäre ich sehr dankbar...ich tappe gerade ziemlich im Dunkeln. Schon einmal vielen Dank!
09.06.2009, 08:24	upsail	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der letzten Formel ist mir ein Fehler unterlaufen, es soll heißen: $\begin{eqnarray} E(\frac{X}{Y})=E(\frac{1}{Y}) \cdot E(X)+Cov(\frac{1}{Y},X) \end{eqnarray}$ Hab ich das Problem sonst klar genug beschrieben? Ich würde mich wirklich sehr um einen kleinen Schubs in die richtige Richtung freuen.
12.06.2009, 17:14	upsail	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da sich bisher noch niemand meiner erbarmt hat noch ein Versuch, mein Problem herauszuschälen und in allgemeiner Form dazustellen: Mir ist bekannt dass $\begin{eqnarray} E(\frac{1}{X})\neq \frac{1}{E(X)} \end{eqnarray}$ Mein Problem von oben hängt genau an dieser Stelle. Ich keine Ahnung, wie ich hier weiter auflösen soll. Mit der Gleichung aus meiner ersten Antwort komme ich auch nicht weiter: $\begin{eqnarray} E(\frac{1}{X})=E(\frac{1}{X}) \cdot E(1)+Cov(\frac{1}{X},1)=E(\frac{1}{X}) \end{eqnarray}$ Im Netz habe ich noch Folgendes gefunden, aber die Herleitung ist mir unklar: $\begin{eqnarray} E(\frac{X}{Y}) \approx \frac{E(X)}{E(Y)}-\frac{Cov(X,Y)}{E(Y)²}+\frac{E(X)V(Y)}{E(Y)³} \end{eqnarray}$ Den Erwartungswert aus meinem ersten Post könnte man auch als $\begin{eqnarray} E(\frac{g(X)}{h(X)}) \end{eqnarray}$ beschreiben, wobei h() und g() lineare Funktionen sind. Wie kann ich hier weiter auflösen? Vielleicht ist mein Problem auch recht trivial - aber ich stehe gerade auf dem Schlauch und bräuchte bitte einen Denkanstoss.

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