Strukturen

08.06.2009, 18:56

aRo

Strukturen

Hallo!

Betrachtet werden soll die Boolesche Algebra aller Teilmengen von |N
$\begin{eqnarray*} BA(\mathbb N) = ( \mathcal P(\mathbb N), \cup, \cap, -, \emptyset, \mathbb N) \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nun, welche Substrukturen von der folgenden Teilmenge erzeugt wird:

- Die Menge aller unendlichen Teilmengen von |N, deren Komplement ebenfalls unendlich ist. ( =: M)

Wenn ich das nun richtig verstanden habe, suchen wir also ein minimales Universum A, so dass gilt:
$\begin{eqnarray*} M \subseteq A \subseteq \mathcal P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ und A mit der Signatur eine Struktur bildet.

Ich muss also gucken, ob mein A mit den Funktionen $\begin{eqnarray*} \cup, \cap, -, \emptyset, \mathbb N \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, richtig?

Für $\begin{eqnarray*} A = M \cup \mathbb N \cup \emptyset \end{eqnarray*}$ funktioniert das doch auch für alles, außer den Durchschnitt. Denn wenn ich das richtig sehe, muss der Durchschnitt zweier solcher unendlichen Teilmengen nicht ebenfalls unendlich sein.

Das hieße also, ich müsste noch weitere Mengen hinzufügen. Soweit korrekt?

An diesem Punkt gerate ich jedoch gerade ein wenig in Verlegenheit, denn ich weiß nicht wie ich die neu entstehenden Mengen charakterisieren kann.

Wär klasse wenn ihr mir helfen könntet, oder auch einfach nur anmerken würdet, dass ich das Prinzip richtig verstanden habe Augenzwinkern

08.06.2009, 22:06

Abakus

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RE: Strukturen
Zu untersuchen sind also endliche und co-endliche Mengen. Nur los.

Grüße Abakus smile

10.06.2009, 12:20

aRo

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Hallo Abakus!

Unter diesem $\begin{eqnarray*} - \end{eqnarray*}$ kann ich durchaus das relative Komplement verstehen, nicht wahr? Da $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ja sowieso als konstante Funktion vorhanden ist, ist damit auch das absolute Komplement zu berücksichtigen.

Also meiner Meinung nach, kann man sich beliebige endliche Teilmengen zusammenbauen, indem man beispielsweise folgendes tut:

$\begin{eqnarray*} Q := \mbox{bel. Teilmenge} \cup \{2k : n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Q_ := \mbox{gleiche Teilmenge} \cup \{2k+1 : n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir mit $\begin{eqnarray*} Q \cap Q' \end{eqnarray*}$ unsere beliebige endliche Teilmenge.
Das hieße, ich müsste schon mal alle endlichen Teilmengen in meine Menge A aufnehmen?

co-endliche Mengen sind, so wie ich gelesen habe, Mengen, deren Komplement endlich ist (damit meint man wohl das absolute Komplement).
Das hieße, die müsste ich auch alle aufnehmen, dann das absolute Komplement meiner endlichen Teilmengen wären dann doch genau die co-endlichen Mengen.

Damit wäre $\begin{eqnarray*} A = M \cup \mathbb N \cup \{\emptyset \} \cup \mbox{alle endlichen Teilmengen} \cup \mbox{alle co-endlichen Mengen} \end{eqnarray*}$

verwirrt

11.06.2009, 21:57

Abakus

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Zitat:

Original von aRo
Damit wäre $\begin{eqnarray*} A = M \cup \mathbb N \cup \{\emptyset \} \cup \mbox{alle endlichen Teilmengen} \cup \mbox{alle co-endlichen Mengen} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Und das sollte die Potenzmenge sein dann, d.h. es werden alle Teilmengen erzeugt.

Grüße Abakus smile

12.06.2009, 07:35

aRo

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okay, Dankeschön :-)

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