Münzwurfspiel

08.06.2009, 20:24	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Münzwurfspiel Einen schönen Abend, Hier mal eine Aufgabe, die ich aus "Mathematik" von Arens und Co. entnommen habe: Ich werfe eine Münze, die mit einer Wahrscheinlichkeit von x Kopf zeigt. Wenn Kopf geworfen wird, gewinne ich einen Euro, bei Zahl muss ich einen abgeben. Das Spiel hört auf, wenn ich entweder 2 Euro gewonnen, oder 2 Euro verloren habe. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit p mit der ich mit 2 gewonnenen Euros das Spiel beende. Ich weiß leider nicht so recht, wie ich da herangehen soll (unendliche Pfaddiagramme machen mir Angst ) Die Lösung soll übrigens $\begin{eqnarray} p=\frac{x^2}{(1-x)^2+x^2} \end{eqnarray}$ sein. Doch scheint mir dies merkwürdig, denn sie entspricht ja: $\begin{eqnarray} \frac{P(KK)}{P(ZZ)+P(KK)} \end{eqnarray}$ Wo bleiben da die restlichen Pfade
08.06.2009, 20:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte doch einfach mal, was nach genau 2 Runden alles passieren kann: a) 2 Euro Gewinn --> Spielende b) 2 Euro Verlust --> Spielende c) 0 Euro Gewinn/Verlust, entspricht der Ausgangslage Kennzeichnet $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ die Gewinnwahrscheinlichkeit, so kann man demzufolge entsprechend der Fallwahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ für a), $\begin{eqnarray} (1-x)^2 \end{eqnarray}$ für b) und $\begin{eqnarray} 2x(1-x) \end{eqnarray}$ für c) folgende implizite Gleichung aufstellen: $\begin{eqnarray} p = x^2\cdot 1 + (1-x)^2 \cdot 0 + 2x(1-x)\cdot p \end{eqnarray}$ Aufgelöst nach $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ergibt das deine Formel. Anmerkung: In die Stochastik richtig eingeordnet handelt es sich hier bei dem Problem um eine Markov-Kette mit den 5 Zuständen $\begin{eqnarray} \{-2, -1, 0, 1, 2\} \end{eqnarray}$ , von denen die beiden äußeren absorbierend sind. Bestimmen muss man nun die Absorptionswahrscheinlichkeit für den Zustand $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ , bei Start im Zustand 0.
08.06.2009, 20:57	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Hui Danke! Vom Prinzip her ist es dann ja sowas wie eine Rekursion, oder? Nun denn, ich hoffe ich geh' dir nicht auf den Keks mit meiner ständigen Lösungswegsucherei
08.06.2009, 21:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Du kannst es auch gern als unendlichen Baum betrachten, mit der Sieg-Pfadwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} p = x^2 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} (2x(1-x))^k \end{eqnarray}$ , kommt auf's selbe raus und ist dir vielleicht vertrauter. Wichtig ist nur die Idee, immer gleich 2 Runden im Paket zu betrachten, denn nach einer "ungeraden" Runde kann keiner der beiden gewinnen. P.S.: Ich hab nichts gegen "auf den Keks gehen", wenn die Fragesteller bereit zum mitdenken sind.

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