Ähnliche Matrizen, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom

09.06.2009, 16:22

Sabinee

Ähnliche Matrizen, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom

Die Aufgabe lautet:

Zeigen Sie:

Zwei 3 x 3-Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie gleiches Minimalpolynom und charakteristisches Polynom haben.

Also die Hinrichtung habe ich folgendermaßen gemacht:
" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
Zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A,B\in k^{3\times 3} \end{eqnarray*}$ sind ähnlich $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ sie haben die gleiche RNF mit lauter Begleitmatrizen $\begin{eqnarray*} B(P_1),B(P_2),...,B(P_r) \end{eqnarray*}$ auf den Hauptdiagonalen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ sie haben das gleiche Minimalpolynom $\begin{eqnarray*} \mu_A=\mu_B=P_1 \end{eqnarray*}$ und das gleiche charakteristische Polynom $\begin{eqnarray*} \chi_A=\chi_B=P_1\cdot P_2\cdots P_r \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

Nun die Rückrichtung:

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ "
Hier weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.
Ich denke ich muss irgendwie auch verwenden dass es sich um eine 3 x 3-Matrix handelt und i.a nicht stimmt.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \chi_A=\chi_B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_A=\mu_B \end{eqnarray*}$
Was kann ich daraus ableiten?

Es wäre nett wenn mir hier auf die Sprünge geholfen wird.

Danke

09.06.2009, 17:44

WebFritzi

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RE: Ähnliche Matrizen, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom

Zitat:

Original von Sabinee
RNF

Wenn du nicht erklärst, was das sein soll, bist du selber schuld, wenn dir keiner antwortet.

09.06.2009, 17:47

Sabinee

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RE: Ähnliche Matrizen, Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom
Entschuldigung
Mein Fehler.

RNF= Rationale Normalform

09.06.2009, 18:05

WebFritzi

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Ich kenne die rationale Normalform nicht. Die Hinrichtung kann man auch ohne Normalformen beweisen. Sei $\begin{eqnarray*} B = SAS^{-1}. \end{eqnarray*}$ Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \chi_B(x) = \det(B - xE) = \det(S(A - xE)S^{-1}) = \det(A - xE) = \chi_A(x). \end{eqnarray*}$

Also sind die charakteristischen Polynome gleich. Das Minimalpolynom von A (von B) ist nun dadurch definiert, der kleinste Teiler $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \mu_B \end{eqnarray*}$ ) von $\begin{eqnarray*} \chi_A = \chi_B \end{eqnarray*}$ zu sein, so dass $\begin{eqnarray*} \mu_A(A) = 0 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \mu_B(B) = 0 \end{eqnarray*}$ ) gilt.

Sei $\begin{eqnarray*} \mu_A(x) = \sum a_kx^k. \end{eqnarray*}$ Dann folgt

$\begin{eqnarray*} \mu_A(B) = \sum a_k(SAS^{-1})^k = S\left(\sum a_kA^k\right)S^{-1} = S\mu_A(A)S^{-1} = 0. \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} \chi_B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu_A(B) = 0. \end{eqnarray*}$ Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mu_B \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ ist. Mit Vertauschen der Rollen von A und B folgt die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} \mu_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu_B. \end{eqnarray*}$

09.06.2009, 18:20

Sabinee

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Super, dankeschön.
Also wir haben in der Vorlesung die Jordansche Normalform und die Rationale Normalform kennengelernt, bin überrascht dass letzteres nicht so bekannt ist.
Den Beweis habe ich verstanden, wobei ich denke dass meins auch geht.
Da hatte ich auch eher weniger Probleme.

Wie kann ich denn bei der Rückrichtung vorgehen?

Ich hab mir mittlerweile ein paar Gedanken gemacht, bin mir aber nicht ganz sicher.

Man sollte denke ich Fallunterscheidungen machen.

Wenn $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ komplett in Linearfaktoren zerfällt, dann existiert zu beiden Matrizen eine Jordansche Normalform.

Da aber auch $\begin{eqnarray*} \mu_A=\mu_B \end{eqnarray*}$ gilt dass die Vielfachheit, mit der ein Jordanblock auf der Hauptdiagonalen auftritt bei beiden Matrizen gleich ist und somit beide Matrizen ähnlich sind.

Jetzt müsste ich aber auch noch den Fall annehmen dass $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ nicht komplett in Linearfaktoren zerfällt. Dann existiert aber keine Jordansche Normalform zu der Matrix. Wie mache ich dann weiter wenn es bis hierhin richtig ist?

11.06.2009, 15:34

Sabinee

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Wie siehts hier aus? Kann einer noch was zu sagen?

11.06.2009, 15:55

WebFritzi

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Zitat:

Original von Sabinee
Wenn $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ komplett in Linearfaktoren zerfällt, dann existiert zu beiden Matrizen eine Jordansche Normalform.

Da aber auch $\begin{eqnarray*} \mu_A=\mu_B \end{eqnarray*}$ gilt dass die Vielfachheit, mit der ein Jordanblock auf der Hauptdiagonalen auftritt bei beiden Matrizen gleich ist und somit beide Matrizen ähnlich sind.

Mach dir klar, dass diese Gedanken schon für 4x4-Matrizen nicht mehr stimmen.

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