Determinaten mit trigonometrischen Berechnungen

09.06.2009, 18:19	britta123	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinaten mit trigonometrischen Berechnungen hallo! ich muss die determinante der folgenden matrix berechnen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & cos(c) & cos(b) \\ cos(c) & -1 & cos(a) \\ cos(b) & cos(a) & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei a,b und c die innenwinkel eines dreiecks darstellen. es ist ja klar, dass dann a+b+c=180° und die additionstheoreme etc. gelten. hat einer von euch eine idee,wie man somit den errechneten term $\begin{eqnarray} 2cos(a)cos(b)cos(c)+cos^2(a)+cos^2(b)+cos^2(c)-1 \end{eqnarray}$ noch vereinfachen könnte? Ich hab ech 1 Stunde hin-und herüberlegt,erweitert,zusammengefasst und das blatt zerknüllt. ad muss doch was gehen! Vielen Dank schonmal! Britta
09.06.2009, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein bißchen was geht immer, aber richtig schön wird's nicht, also sind wir mit der Determinante an sich zufrieden. $\begin{eqnarray} cos(\alpha)cos(\beta)cos(\gamma)=\frac 1 4[cos(\alpha+\beta-\gamma)+cos(\beta+\gamma-\alpha)+cos(\gamma+\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta+\gamma)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos^2(\alpha)=1-sin^2(\alpha)=\frac 1 2(1+cos(2\alpha)) \end{eqnarray}$ bringt alles nicht wirklich viel weiter ...
09.06.2009, 20:12	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach mal $\begin{eqnarray} \gamma=180^{\circ}-\alpha-\beta \end{eqnarray}$ einsetzen, dann kommt eine schöne runde Null heraus.
09.06.2009, 20:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante hast du schon mal richtig berechnet. Durch konsequentes Ausmultiplizieren und Verwendung der Beziehung $\begin{eqnarray} \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \end{eqnarray}$ und des Summensatzes $\begin{eqnarray} \cos c = \cos (180° - (a+b)) = - \cos (a+b) = -\cos a \cos b + \sin a \sin b \end{eqnarray}$ komme ich auf ein nettes Ergebnis ... mY+ Edit: Die Null wollte ich (noch) nicht verraten ....

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