Kombinatorik - Codewort Tresor

17.09.2006, 23:09

BaWtB

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Kombinatorik - Codewort Tresor

Guten Abend!
Ich überlege jetzt schon seit einer guten Stunde:

Codewort für einen Tresor (nur Ziffern) man weiß nur, dass der Code 5-stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern 0 und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?

Lösung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot (2\cdot3\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}) = 8400 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man denn da drauf??? Vielen Dank schon mal! Ciao!

17.09.2006, 23:28

AD

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Zitat:

Original von BaWtB
Codewort für einen Tresor (nur Ziffern) man weiß nur, dass der Code 5-stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern 0 und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?

Besser, du lieferst mal den Originalwortlaut der Problemstellung nach - ich habe den begründeten Verdacht, dass du dieses Original logisch falsch wiedergegeben hast. Dein Text nämlich logisch äquivalent umgeformt bedeutet:

Zitat:

Das Codewort besteht aus genau 5 Ziffern, von denen genau 3 Ziffern aus {1,2,3,5,6,7,8,9} stammen und folglich genau 2 Ziffern aus {0,4} stammen.

Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass das gemeint war - denn warum sollte man es so kompliziert wie du formulieren? Was ist mit mehrfach vorkommenden Ziffern - ohne Anmerkung dazu nehme ich an, das ist erlaubt.

P.S.: Es ist $\begin{eqnarray*} \binom{8}{3} \cdot \left( 2 \cdot 3 \cdot \binom{5}{2} + 3 \cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{3}{3} \right) = 56\cdot \left( 2 \cdot 3 \cdot 10 + 3 \cdot 10 \cdot 1 \right) = 56 \cdot 90 = 5040 \end{eqnarray*}$ , also ist auch die Rechnungszeile falsch. Im übrigen hat weder 5040 noch 8400 was mit dem tatsächlichen Ergebnis gemäß obiger Interpretation zu tun. Aber das rechne ich nicht aus, da du erstmal noch dein Formulierungsproblem beheben musst.

17.09.2006, 23:43

basd

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Zum Überlegen:

Es gibt 10 Ziffern (0,1,2,3...9). Da man weiß dass 0 und 4 nicht vorkommt, folgt dass der Ziffern vorrat wohl aus 8 Elementen besteht.
Nun verwendet der 5 Stellige Code jedoch nur 3 verschiedene Ziffern aus diesem Vorrat.
Die Frage die sich noch stellt ist:
Wie viele Möglichkeiten gibt es diese 5 Ziffern zu ordnen, wenn man weiß dass 3 Ziffern oder 2 mal 2 Ziffern identisch sind.
Bei einem Tresorcode wird die Reihenfolge wichtig sein !

Dein Ergebniss scheint falsch zu sein wie Arthur ja ausführt.

18.09.2006, 08:49

BaWtB

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noch mal ganz genau:
Guten Morgen,
also das war schon ziemlich genau die Aufgabenstellung, die exakt folgendermaßen lautet:

"Herr Reichlich stirbt unerwartet und nimmt das Codewort zu seinem Tresor mit ins Grab. Seine Angehörigen wissen nur, daß der Code 5-stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern 0 und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?"
Quelle: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~kohl/DM/KombAufgaben.pdf (pdf)

Beim Abtippen der Musterlösung ist mir ein Fehler unterlaufen. (Der letzte Binomialkoeffizient ist (3 über 2).) Korrekt heißt es:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ 3\end{pmatrix} \cdot (2 \cdot 3\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2\end{pmatrix}) = 8400 \end{eqnarray*}$

Bei der Formulierung ist mir auch schon aufgefallen, dass demnach genau 2 Ziffern 0 oder 4 sind...

18.09.2006, 11:33

AD

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Die Aufgabenstellung ist ein Musterbeispiel an missverständlicher Formulierung, das kannst du der Frau Kohl bestellen! Nur durch Rückwärtsschließen von der Lösung bin ich drauf gekommen, dass folgendes gemeint ist:

Zitat:

Unter den Ziffern des 5 Stellen umfassenden Codes befinden sich genau 3 unterschiedliche (!) Ziffern, wobei 0 und 4 nicht unter diesen 3 Ziffern sind. Wieviel Codewörter erfüllen diese Bedingung?

Dann passt auch die Lösung, mit deiner Korrektur: $\begin{eqnarray*} \binom{8}{3} \end{eqnarray*}$ ist erstmal die Auswahl der drei vorkommenden Ziffern aus der verbleibenden Ziffernmenge {1,2,3,5,6,7,8,9}.

Für jede dieser Auswahlen gibt es jetzt zwei Fälle bei der Codebildung:

(1) Eine Ziffer kommt dreimal, die anderen beiden Ziffern jeweils genau einmal vor. Dann beschreibt ein Faktor $\begin{eqnarray*} 3=\binom{3}{1} \end{eqnarray*}$ die Auswahlmöglichkeiten der einen dreifach vorkommenden Ziffer aus den 3 in Frage kommenden Ziffern. $\begin{eqnarray*} \binom{5}{2} \end{eqnarray*}$ beschreibt die Auswahlpositionen für die zwei einfach vorkommenden Ziffern, und schließlich die $\begin{eqnarray*} 2=2! \end{eqnarray*}$ noch die Anordnungsmöglichkeiten dieser beiden Ziffern auf den bereits zugewiesenen Plätzen. Position und Wert der drei gleichen Ziffern ist jetzt fest zugewiesen, da gibt es keine Auswahl mehr. Insgesamt also $\begin{eqnarray*} 3\cdot \binom{5}{2} \cdot 2 \end{eqnarray*}$ .

(2) Genau zwei Ziffern kommen jeweils genau zweimal im Code vor, die restliche Ziffer genau einmal. Dann beschreibt der Faktor $\begin{eqnarray*} 3=\binom{3}{1} \end{eqnarray*}$ die Auswahlmöglichkeiten dieser letzten nur einfach vorkommenden Ziffer aus den 3 in Frage kommenden Ziffern. $\begin{eqnarray*} \binom{5}{2} \end{eqnarray*}$ beschreibt die Auswahlpositionen für die erste (sagen wir kleinere) doppelte Ziffer. Jetzt verbleiben noch drei Positionen für die zweite (sagen wir größere) doppelte Ziffer, macht $\begin{eqnarray*} \binom{3}{2} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten. Die Einzelziffer nimmt jetzt den Restplatz ein, da gibt es keine Wahl mehr. Insgesamt also $\begin{eqnarray*} 3\cdot \binom{5}{2} \cdot \binom{3}{2} \end{eqnarray*}$ .

18.09.2006, 11:56

BaWtB

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Ach sooooooo...
Hallo Arthur,

na, da habe ich die Aufgabenstellung ja mal gar nicht verstanden! Ok, herzlichen Dank, so kann ich es gut nachvollziehen. Schönen Tag noch!

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27.08.2007, 14:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Unter den Ziffern des 5 Stellen umfassenden Codes befinden sich genau 3 unterschiedliche (!) Ziffern, wobei 0 und 4 nicht unter diesen 3 Ziffern sind.

Auch diese Formulierung verstehe ich nicht. Ist jetzt gemeint, dass in dem 5-stelligen Code nur 3 verschiedene Ziffern vorkommen? Also z.B. 12312 ?

27.08.2007, 14:27

therisen

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Ja. Anders formuliert: Bildet man aus den 5 Ziffern eine Menge M, dann gilt für diese: $\begin{eqnarray*} |M|=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\cap\{0,4\}=\varnothing \end{eqnarray*}$ .

PS: Schau mal auf's Datum Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.08.2007, 15:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
PS: Schau mal auf's Datum Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hä? Ich schaue mir eigentlich immer nur aktuelle Threads an. Wie kann das sein? verwirrt

verwirrt

27.08.2007, 15:23

therisen

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Ein Spambot hatte es geschafft, durch den Filter zu kommen und hier zu posten.

27.08.2007, 15:24

WebFritzi

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Ach ja... das mit der Vergrößerung... Big Laugh

Big Laugh

Die Spambots schaffen das aber öfter mal. Lehrer

Lehrer

27.08.2007, 15:29

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Die Spambots schaffen das aber öfter mal. Lehrer

Lehrer

Jep ... aber Gott sei Dank ist der Filter ja lernfähig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.06.2018, 13:55

ClaudiusMatheno

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Hilfe bitte !!
Bei uns kam die selbe Aufgabe auf einem Lösungsblatt mit der selben Lösung.
Aber ich verstehe leider nicht wie diese Lösung stimmen kann..
Kann mir bitte jemadn erklären, warum die Lösung nicht 8**3 x10**2 ist ?
Vor allem hätte ein Code der immer nur aus 8 Ziffern besteht schon die Länge 8**5 = 32.768.
Das ist schon deutlich mehr als in der Lösung obwohl das weniger ist als 8**3 x10**2..
Weil ich lese nichts von Unterschiedlichen Zahlen:
"Herr Müller stirbt unerwartet und nimmt das Codewort zu seinem Tresor mit ins Grab. Seine Angehörigen wissen nur, dass der Code 5-stellig ist und genau 3 Ziffern enthält, unter denen die Ziffern 0 und 4 nicht vorkommen. Wie viele Codewörter erfüllen diese Bedingung?"

Vielen Dank schonmal

Grüße

11.06.2018, 14:15

HAL 9000

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RE: Hilfe bitte !!

Zitat:

Original von ClaudiusMatheno
Weil ich lese nichts von Unterschiedlichen Zahlen:

Das nicht, aber es steht da was von genau 3 (unterschiedlichen) Ziffern unter den 5 Ziffern.

Deine Rechnung $\begin{eqnarray*} 8^5 \end{eqnarray*}$ , die wohl darstellen soll, dass man alle fünf Stellen beliebig aus {1,2,3,5,6,7,8,9} auswählen kann, spiegelt diese Bedingung nicht wieder:

Da ist alles möglich, von 33333 mit nur genau einer Ziffer 3, bis hin zu 72539 mit fünf Ziffern (sämtlich verschieden). Es sollen aber nicht eine sein, nicht zwei, nicht vier und auch nicht fünf, sondern genau drei. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von ClaudiusMatheno
Kann mir bitte jemadn erklären, warum die Lösung nicht 8**3 x10**2 ist ?

Das ist immer wieder ein komisches Ansinnen: Der Helfer soll erklären, warum ein Wert nicht herauskommt?

Normalerweise ist das allein dadurch so ganz nebenbei erledigt, wenn man fundiert einen anderen Wert begründet! Anscheinend erwartet ein Fragesteller der erstgenannten Frage aber, dass man genau den Punkt benennt, wo der eigene Gedankengang falsch ist - schön, aber dazu muss man als Helfer erstmal den Gedankengang des Fragestellers kennen, der zu diesem Endergebnis geführt hat, statt nur das schnöde Zahlen-Endergebnis selbst. unglücklich

unglücklich

11.06.2018, 22:46

Dopap

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oder:
Man wirft einen SpielOktaeder 5 mal. Wieviel verschiedene Tupel mit den Mengendarstellungen
{aaabc} oder {aabbc} gibt es ?

16.02.2021, 18:35

12222222nur2ziffern

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Nicht lösbar
Würde jedem volle Punktzahl geben der auf diesem Pdf, vor allem nach Aufgabe 5 und 6!!!, bei dieser Aufgabe stolpert. Nicht lösbar da Aufgabenstellungen nicht wohldefiniert. Die Aufgaben 5 und 6 und insbesondere deren Lösungen implizieren eine Übersetzung der Phrase "Zahl mit x Ziffern" in eine Zahl mit x Stellen. Es gibt ja auch kein Autokennzeichen mit einer Ziffer, zB 5, welches so aussieht MK555555555555

Sollte eigentlich jedem Mathematiker auffallen, der ein wenig praxis mit dem Stellen von Übungsaufgaben hat.....

16.02.2021, 18:39

233333nur2ziffern

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RE: Hilfe bitte !!
oder auch:
Deine Lösung ist völlig korrekt im kontext der pdf

16.02.2021, 18:42

2333333nur2ziffern

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RE: Hilfe bitte !!
also claudius lösung.
Das einzig unmathematische ist die Interpretation der Aufgabe so hinzubiegen, dass sie zu einer angeblichen Lösung passt....
genug gestänkert

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