Ranguntersuchung eines LGS

09.06.2009, 19:20

greg3d

Ranguntersuchung eines LGS

Liebe Forumsmitglieder,
Ich soll folgende Aufgabe lösen und besser wäre es noch sie optimal zu verstehen smile

Gegeeben ist das lineare Gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} X1+X2+X3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X1+\alpha X2+X3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X1+X2+\beta X3=\gamma \end{eqnarray*}$

Mittels Ranguntersuchung der Koeffizientenmatrix A und der erweiterten Koeffizientenmatrix B ist zu entscheiden, für welche reelen Werte von \alpha \beta \gamma eine eindeutige Lösung existiert.

Als erstes hab ich probiert die Dreieckmatrix aufzustellen und bekomme vollgendes Resultat:
$\begin{eqnarray*} X1+X2+X3=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha X2-X2=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \beta X3-X3=\gamma-1 \end{eqnarray*}$

So um jetzt eine eindeutige Lösung zu bestimmen muss gelten:
$\begin{eqnarray*} Rg(A)=Rg(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Rg(A)=Rg(B)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Anzahl der Unbekannten =3 \end{eqnarray*}$

So jetzt meine Fragen:
Gibt es überhaupt eine Lösung weil durch $\begin{eqnarray*} \alpha X2-X2=0 \end{eqnarray*}$ ist es ja schon ein Wiederspruch weil man daraus ja nur noch eine Nullzeile machen kann oder?
Und bei mir gibt es bei dieser Gleichung 6 Unbekannt.

würde mich um einen Ansatz freuen bzw eine Erklärung.

mfg
greg

09.06.2009, 19:40

Elvis

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Hallo, das wird ganz einfach, wenn du die Gleichung anders schreibst.

$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot x_2 - x_2 = 0 \Rightarrow ( \alpha - 1 ) \cdot x_2 =0 \Rightarrow \alpha = 1 \,\, oder \,\, x_2=0 \end{eqnarray*}$
Damit die Lösung eindeutig wird, muß also $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 1 \end{eqnarray*}$ sein.

Mit der entsprechenden Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} \beta , \gamma \end{eqnarray*}$ kommst du dann weiter.

09.06.2009, 19:43

Elvis

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Hättest du - so wie in der Aufgabenstellung empfohlen - mit der Koeffizientenmatrix gearbeitet, wäre alles viel leichter und übersichtlicher geworden. Augenzwinkern

09.06.2009, 20:49

mYthos

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RE: Ranguntersuchung eines LGS

Zitat:

Original von greg3d
... bekomme vollgendes Resultat:
...

vollgendes statt folgendes - das finde ich schon heftig! Andere Fehler wie

reel
Wiederspruch

kommen leider auch oft woanders vor.

mY+

09.06.2009, 21:13

greg3d

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RE: Ranguntersuchung eines LGS
Hi Elvis Dankeschön für deine schnelle Antwort.

Ok wie ich $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ kann ich nachvollziehen, aber wie bekomme ich $\begin{eqnarray*} \beta und \gamma \end{eqnarray*}$ raus?

2. wenn ich probiere mit der Koeffizientenmatrix zu rechnen, gehe ich da so vor:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \\ 1 & 1 & \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X1 \\ X2\\ X3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bilde dann die Inverse von A und multipliziere Sie von Links?
Ist das richtig?

Und dann wäre noch die Frage mit den Unbekannten, wie viele Unbekannte hat das Gleichungssystem?

Danke noch mal

Ach so, gleich vorne weg ich übernehme keine Garantie über korrekte Rechtschreibung @ mYthos, aber trotzdem danke für den Hinweis smile

10.06.2009, 03:37

WebFritzi

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RE: Ranguntersuchung eines LGS

Zitat:

Original von greg3d
Ich bilde dann die Inverse von A und multipliziere Sie von Links?

Und wenn diese gar nicht existiert?

10.06.2009, 10:33

greg3d

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RE: Ranguntersuchung eines LGS

Zitat:

Zitat:Original von greg3d
Ich bilde dann die Inverse von A und multipliziere Sie von Links?

Und wenn diese gar nicht existiert?

Meine Frage ist ja auch wie man vorzugehen hat wenn man mit der Koeffiezientenmatrix arbeitet? Aber ich habe darauf ja leider noch keine Antwort bekommen.

Die einzigste Idee die ich noch hätte, wenn ich die Determinante ausrechnen möchte unter der Voraussetzung das Sie 0 wird weiß ich ja das diese Werte zu Nullzeile führen, richtig?

Werden Alpha,Beta,Gamma auch als Unbekannte bezeichnet oder nur x1,x2,x3?

10.06.2009, 15:30

WebFritzi

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Du hast also eine Matrix A, einen Vektor b und ein LGS

Ax = b.

Schreibe nun A und b nebeneinander in eine Matrix: (A|b). Wende nun den Gauß-Algorithmus auf diese 3x4-Matrix an. Stell dein Vorgehen hier im Thread dar.

10.06.2009, 19:06

Elvis

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@greg3d - weißt du wirklich nicht, wie das geht ? Dann subtrahiere die erste Zeile von der zweiten und von der dritte Zeile, damit die erste Spalte (1,0,0) wird. (Das ist "Gauß" in Reinkultur).

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&1&1&|1\\1&\alpha&1&|1\\1&1&\beta&|\gamma\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn du das gemacht hast, ist die Lösung zum Greifen nahe.

10.06.2009, 20:28

greg3d

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Achso, das hört sich immer schwerer an als es ist, mir war nur unbekannt was eine Koeffizientenmatrix ist.

Ok das bekomme ich hin, hab dann die dreiecksmatrix gebildet:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta & \gamma \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt muss für EINE LÖSUNG gelten:
rg(A) =3
$\begin{eqnarray*} \alpha \neq 1 \end{eqnarray*}$ sein
$\begin{eqnarray*} \beta \neq 1 \end{eqnarray*}$

für UNENDLICHE VIELE LÖSUNGEN muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ sein
$\begin{eqnarray*} \beta \neq 1 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \alpha \neq 1 \end{eqnarray*}$ sein
$\begin{eqnarray*} \beta =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma =0 \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ sein
$\begin{eqnarray*} \beta =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma =0 \end{eqnarray*}$

Für KEINE LÖSUNG muss gelten:

$\begin{eqnarray*} Rg(A)\neq Rg(B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \beta =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma \neq 0 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Danke an Elvis,WebFritzi und Mythos

beste grüße

11.06.2009, 19:34

mYthos

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Die dritte Zeile deiner Dreiecksmatrix ist nicht zutreffend.
Die Diskussion der Lösungsmöglichkeiten bedarf (demgemäß) ebenfalls einer Überarbeitung deinerseits.

mY+

16.06.2009, 15:52

greg3d

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So um unter den Thread ein Ok zu bekommen habe ich das noch mal bearbeitet und denke mal soweit ganz gut bestanden.
danke noch mal an Euch Gott

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & \alpha -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \beta-1 & \gamma-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
1.Lösung:
$\begin{eqnarray*} \alpha \neq 1 \ und \ \beta \neq 1 \ \ \gamma\ = \ beliebig \end{eqnarray*}$

1Fach unendliche Lösung:
$\begin{eqnarray*} \beta= 1 \ \gamma=1 \end{eqnarray*}$

Keine Lösung:

$\begin{eqnarray*} \beta= 1 \ \gamma \neq 1 \end{eqnarray*}$

Edit (mY+): LaTex korrigiert. Abstand innerhalb LaTex mit \

17.06.2009, 14:22

mYthos

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Ok, so weit ganz gut. Es gibt allerdings noch einen Fall für unendlich viele (einparametrige) Lösungen, nämlich wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \ \text{und} \ \beta \neq 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} y = s, \ z = \frac{\gamma - 1}{\beta - 1}, \ x= \ldots \end{eqnarray*}$ .

Nochmals unendlich viele einparametrige Lösungen gibt es auch dann, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha \neq 1, \ \beta = 1, \gamma = 1 \end{eqnarray*}$ , denn dann ist z = t, y = 0, x = 1 - t

Unendlich viele zweiparametrige Lösungen gibt es, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = 1, \ \beta = 1, \gamma = 1 \end{eqnarray*}$ , denn dann ist z = t, y = s, x = 1 - s - t

Daraus erkennst du, dass es ganz gut gewesen wäre, zu den einzelnen Fällen auch noch dazuzuschreiben, wie die Lösungen allgemein aussehen.

mY+

17.06.2009, 21:24

greg3d

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ah ok danke schön
Wenn jetzt zb gefragt ist: Geben Sie alle einparametige Lösungen an.
Müsste ich jetzt die 1 Variante: 3 Zeile =0 oder 2 Variante: 2 Zeile =0 definieren

Frage wenn ich es definiere ist das ok wenn ich da mit "oder" arbeite?

Danke

18.06.2009, 00:38

mYthos

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Wenn es zwei zutreffende Fälle gibt, in denen einparametrige Lösungen eintreten, so sind diese mit ODER zu verknüpfen, das ist klar.
Hier gibt es auch tatsächlich zwei Fälle: Entweder tritt in der zweiten Gleichung oder in der dritten eine Nullzeile auf.
Diese Aussage ist aber nicht hinreichend, denn auch bei der zweiparametrigen Lösung ist die dritte Zeile eine Nullzeile, aber in diesem Falle eben zugleich auch die zweite!

mY+

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